## [Simetrización](/es/node/63829) Definición Operación sobre un tensor o función multilínea que lo proyecta en su parte simétrica promediando sobre todas las permutaciones de las posiciones de entrada, produciendo un objeto invariante por permutar los argumentos. ## Principio Principio Aplicar el operador S = (1/n!) ∑_{σ∈S_n} σ, donde σ permuta factores del tensor (o argumentos); en características donde n! es invertible esto es una proyección idempotente sobre el subespacio simétrico. ## Demostración Demostración Dado v⊗w en V⊗V, la simetrización da (v⊗w + w⊗v)/2, que representa el correspondiente elemento en Sym^2(V); aplicada a formas multilínea, produce formas multilíneas simétricas. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Promediar con 1/n! falla en característica p que divide n!, porque n! puede ser cero, por lo que la media no es un proyector válido; asimismo, promediar solo sobre un subconjunto de permutaciones no produce verdadera simetría. ## Consecuencia Consecuencia Produce tensores o formas simétricas usados para definir potencias simétricas, polinomios simétricos y construcciones de teoría de invariantes; hace explícita la componente invariante por permutación y facilita su cálculo. ## Inversión Inversión La operación complementaria es la alternación (antisimetrización); en lugar de promediar uniformemente, se ponderan las permutaciones por su signo y se extraen las componentes antisimétricas. ## Límite Límite Se aplica a objetos multilínea y potencias tensoriales; requiere cuidado sobre cuerpos o anillos donde las factoriales no son invertibles y no preserva relaciones algebraicas sensibles al orden. ## Tensión semántica Tensión semántica Próxima a 'simetrizar por suma' frente a 'simetrizar mediante evaluación en la diagonal': la primera es una proyección por promediado, la segunda consiste en restringir a argumentos iguales; coinciden para tensores multilínea pero difieren operacionalmente. ## Síntesis Síntesis La simetrización es la proyección canónica por promediado que extrae la componente invariante por permutación de un objeto multilínea, dando elementos de las potencias simétricas y posibilitando el estudio de invariantes ante reordenamientos de argumentos.