##  [Adición de un Elemento](/es/node/63828) 

 Definición

Proceso de extender una estructura algebraica añadiendo un nuevo elemento (o símbolos) sujeto a relaciones algebraicas especificadas, produciendo un objeto mayor definido por generadores y relaciones o por una propiedad universal.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Formar la extensión libre sobre la estructura original con un nuevo generador y luego tomar el cociente por la congruencia o ideal mínimo que imponga las relaciones deseadas; categóricamente se corresponde con un empuje o coproducto con relaciones impuestas.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Adscribir un elemento x a un cuerpo k tal que f(x)=0 conduce a k[x]/(f); si f es irreducible se obtiene una extensión de cuerpo. Adscribir una indeterminada t a un anillo R da el anillo de polinomios R[t], la álgebra libre sobre un generador.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Añadir un elemento sin especificar relaciones consistentes puede producir contradicciones o colapsos de la estructura (por ejemplo, imponer ecuaciones polinómicas incompatibles), o ser inútil si el nuevo generador resulta ser identificado con uno existente por relaciones pasadas por alto.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Crea extensiones, nuevos módulos o nuevos morfismos y suele añadir grados de libertad algebraicos; las propiedades universales garantizan la unicidad de las aplicaciones desde el objeto extendido que respetan las relaciones.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Cocientar por el ideal generado por el elemento adicionado (o enviar el generador a cero) elimina el generador añadido; conceptualmente, tomar un retracto o imponer relaciones adicionales puede colapsar de nuevo el elemento adicionado hacia la estructura original.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere especificar claramente las relaciones y la categoría ambiente (anillos, álgebras, módulos, cuerpos); al adicionar raíces en cuerpos hay que tener cuidado con raíces no separables en característica positiva.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Cercano a adicionar variables libremente frente a añadir raíces algebraicas: lo primero produce objetos polinomiales o libres, lo segundo produce extensiones algebraicas y depende de la factorización; confundir 'símbolo formal' con 'raíz de un polinomio' es fuente de errores.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Adscribir un elemento es el ensanchamiento controlado de un objeto algebraico añadiendo un generador e imponiendo relaciones; se realiza mediante construcciones libres (polinomios/tensores) o mediante cocientes que codifican propiedades algebraicas concretas.