## [Álgebra de Endomorfismos](/es/node/63798) Definición El álgebra asociativa formada por todos los endomorfismos de un objeto fijo (típicamente un espacio vectorial o un módulo), con la suma definida punto a punto y la multiplicación dada por la composición; concretamente se realiza como álgebra de matrices tras elegir una base. ## Principio Principio Organizar las autoaplicaciones lineales en una estructura algebraica en la que la composición codifica la aplicación sucesiva y la suma la superposición, de modo que las acciones de representación y de módulo se describen como módulos sobre el álgebra de endomorfismos. ## Demostración Demostración Para un espacio vectorial V de dimensión finita sobre un cuerpo k, End_k(V) es isomorfo a la álgebra completa de matrices M_n(k) tras la elección de una base; sus elementos actúan sobre V mediante multiplicación por la izquierda de vectores columna. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar End(V) como conmutativa o asumir que la suma punto a punto y la composición conmutan hasta permitir una división elemento a elemento; tal uso indebido ignora la no conmutatividad y la ausencia de inversos multiplicativos para endomorfismos no invertibles. ## Consecuencia Consecuencia La identificación correcta de un álgebra de endomorfismos permite clasificar descomposiciones de módulos, describir centralizadores y formular dualidades (por ejemplo, el lema de Schur implica que los anillos de endomorfismos de módulos simples son anillos divisores). ## Inversión Inversión En lugar de reunir autoaplicaciones con la composición como multiplicación, se puede considerar la coálgebra de funcionales lineales con comultiplicación; invertir las flechas conduce al estudio de coálgebras o estructuras de comodulos en lugar de álgebras de endomorfismos. ## Límite Límite Se aplica a los endomorfismos de un único objeto fijo; no codifica automáticamente morfismos entre objetos diferentes (éstos forman conjuntos Hom) y excluye estructuras adicionales salvo que se especifiquen (hay que añadir explícitamente topología, graduación o estructura *). ## Tensión semántica Tensión semántica Compite con 'álgebra de matrices' como presentación concreta: el álgebra de matrices es un modelo de End(V) tras elegir una base, pero End(V) enfatiza propiedades intrínsecas y fonctoriales independientes de la base. ## Síntesis Síntesis El álgebra de endomorfismos es el álgebra asociativa, independiente de la base, de las autofunciones lineales de un objeto; su multiplicación no conmutativa por composición y su suma punto a punto organizan simetrías internas y acciones de módulos, mientras que las realizaciones matriciales facilitan el cálculo.