##  [Álgebra de Von Neumann](/es/node/63784) 

 Definición

Una álgebra de Von Neumann (W*‑álgebra) es una *‑subálgebra de B(H), los operadores acotados sobre un espacio de Hilbert H, que contiene la identidad y está cerrada en la topología de operadores débil (o fuerte); equivalentemente, por el teorema del bicommutador, coincide con su bicommutador. Las álgebras de Von Neumann suelen tener un predual y una rica teoría de proyecciones.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Principio topológico/representacional: el cierre en la topología de operadores débil y la acción sobre un espacio de Hilbert (o la caracterización por bicommutador) determinan la estructura; se enfatizan propiedades operatorias y de medida más que puramente normativas.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo: L∞(X,μ) actuando por multiplicación sobre L2(X,μ) es una álgebra de Von Neumann conmutativa; representaciones de grupos generan álgebras de Von Neumann mediante el cierre débil de la álgebra de operadores que generan.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Confundir cierre en norma con cierre débil de operadores — tratar una C*-álgebra cerrada en norma como una álgebra de Von Neumann sin una representación en espacio de Hilbert y la topología de operadores apropiada es incorrecto.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Las álgebras de Von Neumann permiten una clasificación fina (tipos I, II, III), una rica teoría de proyecciones, teoría modular y conexiones profundas con la mecánica estadística cuántica y la teoría de la medida no conmutativa; proporcionan marcos canónicos para álgebras de operadores sobre espacios de Hilbert.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

El reverso es la perspectiva de la C*-álgebra: *‑subálgebras cerradas en norma de B(H) que pueden no estar cerradas débilmente; dichas álgebras carecen de las propiedades de bicommutador y cierre topológico centrales en la teoría de Von Neumann.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se define intrínsecamente por una representación sobre un espacio de Hilbert y el cierre en una topología de operadores débil; las C*-álgebras abstractas sin representaciones especificadas o sin predual quedan fuera de la categoría de Von Neumann, y la separabilidad o la clasificación por tipos imponen restricciones adicionales.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión semántica entre álgebra de Von Neumann y C*-álgebra: ambas son *‑álgebras de operadores pero difieren por la topología de cierre y por rasgos categóricos (predual, bicommutador) que hacen sus teorías complementarias pero distintas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una álgebra de Von Neumann es una álgebra de operadores sobre un espacio de Hilbert cerrada en la topología débil de operadores y caracterizada por su bicommutador; su estructura de proyecciones, datos modulares y dependencia de la representación le confieren un carácter medible distinto de las álgebras cerradas en norma.