## [Álgebra Filtrada](/es/node/63774) Definición Un álgebra A provista de una sucesión creciente de subespacios ... = F_{-1} ⊆ F_0 ⊆ F_1 ⊆ ... cuya unión es A y tal que la multiplicación satisface F_i · F_j ⊆ F_{i+j}; la filtración organiza elementos por complejidad más que por grado exacto. ## Principio Principio Una filtración compatible registra una jerarquía de 'tamaño' u 'orden' de modo que los productos elevan la complejidad de forma predecible; el álgebra graduada asociada gr_F(A) = ⊕ F_i / F_{i-1} conecta técnicas filtradas y graduadas. ## Demostración Demostración El álgebra envolvente universal U(g) de una álgebra de Lie g está filtrada por el grado tensorial: sumas finitas de productos de ≤ n elementos de Lie están en F_n, y la construcción de Poincaré–Birkhoff–Witt identifica gr_F(U(g)) con el álgebra simétrica de g. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar una filtración como si fuera una graduación en suma directa, o ignorar problemas de completitud al trabajar con filtraciones decrecientes infinitas, puede conducir a conclusiones inválidas; asumir que el graduado asociado es igual al original es inseguro. ## Consecuencia Consecuencia Las filtraciones permiten el uso de series espectrales, definen completaciones y topologías (completaciones adicas) y con frecuencia permiten pasar al graduado asociado para calcular invariantes o demostrar teoremas de estructura. ## Inversión Inversión El concepto inverso es un álgebra estrictamente graduada con una descomposición en suma directa exacta; algunos resultados se simplifican en el contexto graduado pero deben recuperarse para álgebras filtradas mediante el graduado asociado. ## Límite Límite Requiere una cadena creciente (o exhaustiva) de subespacios compatible con la multiplicación cuya unión sea la totalidad del álgebra; excluye descomposiciones no anidadas, filtraciones no respetadas por la multiplicación y cadenas no exhaustivas. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre filtración y graduación: las filtraciones son más flexibles y aparecen de forma natural, pero muchos resultados algebraicos son más fáciles en el caso graduado y requieren trabajo adicional para elevarse del graduado asociado al objeto filtrado. ## Síntesis Síntesis Un álgebra filtrada es un álgebra equipada con una familia anidada de subespacios compatibles con la multiplicación; al pasar al graduado asociado y considerar completaciones, se conectan las ventajas computacionales de los métodos graduados con la flexibilidad de las filtraciones.