## [Álgebra Graduada](/es/node/63772) Definición Un álgebra descompuesta como suma directa de componentes homogéneas A = ⊕_{d∈D} A_d indexadas por grados (a menudo D = enteros no negativos o Z) tal que el producto envía A_i × A_j en A_{i+j}; los elementos son sumas de piezas homogéneas. ## Principio Principio La graduación organiza los elementos por grado y hace de la aditividad de grado la regla de gobernanza para la multiplicación; permite construcciones homológicas graduadas, módulos graduados y filtraciones derivadas de truncamientos. ## Demostración Demostración El anillo de polinomios K[x] está graduado por grado, con K[x]_d el espacio de polinomios homogéneos de grado d. El álgebra exterior ∧V está graduada y la multiplicación incrementa el grado en consecuencia. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir una graduación con una filtración o suponer que toda descomposición en suma directa es multiplicativa conduce a errores; otro uso indebido es ignorar problemas de convergencia en sumas directas con grados infinitos. ## Consecuencia Consecuencia Una graduación da lugar a módulos graduados, homomorfismos graduados, argumentos por series espectrales y suele simplificar cálculos trabajando grado por grado; invariantes como la serie de Hilbert codifican dimensiones graduadas. ## Inversión Inversión La inversión es un álgebra no graduada o filtrada donde solo hay una familia anidada de subespacios y no existe una descomposición en piezas homogéneas exactas, lo que cambia las técnicas disponibles. ## Límite Límite Requiere una verdadera descomposición en suma directa indexada por grados con multiplicación que respete la suma de grados; excluye filtraciones, graduaciones no respetadas por la multiplicación y descomposiciones incompatibles con la estructura algebraica. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre estructuras graduadas y filtradas: muchos teoremas se sostienen en contexto graduado pero deben reemplazarse o recuperarse (por ejemplo mediante el asociado graduado) en el contexto filtrado. ## Síntesis Síntesis Un álgebra graduada es una álgebra estratificada en componentes homogéneos de grado cuya multiplicación respeta la suma de grados; esta estructura permite análisis por grado, módulos graduados e invariantes que explotan la homogeneidad.