## [Álgebra Asociativa Unitaria](/es/node/63770) Definición Una álgebra asociativa que contiene un elemento identidad multiplicativo distinguido 1 tal que 1·a = a·1 = a para todo elemento a. La unidad forma parte de los datos algebraicos y se utiliza al definir homomorfismos y módulos unitarios. ## Principio Principio La presencia de una unidad permite acciones de tipo escalar, define estructuras de módulos unitarios y posibilita la identificación del álgebra con una subálgebra de sus endomorfismos mediante la multiplicación por la unidad que se conserva. ## Demostración Demostración El álgebra de matrices M_n(K) tiene la matriz identidad I_n que actúa de forma neutral sobre cualquier matriz por multiplicación. El álgebra de grupo K[G] incorpora la identidad del grupo como la unidad del álgebra. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que toda álgebra asociativa tiene automáticamente una unidad o tratar un ideal (una subálgebra no unitaria) como si fuera unitaria conduce a conclusiones erróneas; otro error es suponer que la unidad es necesariamente central. ## Consecuencia Consecuencia Con una unidad se pueden definir módulos unitarios, homomorfismos que preservan 1, elementos invertibles, y las unidades forman un grupo multiplicativo; muchos teoremas estructurales suponen implícitamente la existencia de la unidad. ## Inversión Inversión Las álgebras no unitarias (o rngs) carecen de una identidad multiplicativa global; algunas construcciones adosan una unidad o trabajan con unidades locales, cambiando las categorías de módulos y la noción de homomorfismo. ## Límite Límite El concepto exige un único elemento identidad bilateral dentro del álgebra; las álgebras con solo identidades unilaterales o las que solo se vuelven unitarias tras adición de un elemento quedan fuera de la noción estricta. ## Tensión semántica Tensión semántica Hay tensión entre trabajar con álgebras unitarias y álgebras aumentadas o no unitarias: ciertas construcciones universales requieren la unidad, mientras que otras son más naturales sin ella. ## Síntesis Síntesis Una álgebra asociativa unitaria es una álgebra asociativa con una identidad multiplicativa bilateral distinguida que permite las nociones habituales de homomorfismos que preservan la unidad, elementos invertibles y módulos unitarios.