## [Álgebra Asociativa](/es/node/63768) Definición Un espacio vectorial o módulo sobre un anillo conmutativo o cuerpo provisto de una multiplicación bilineal que es asociativa: (ab)c = a(bc) para todos los elementos a, b, c. La estructura de álgebra combina la linealidad con un único producto binario asociativo. ## Principio Principio La asociatividad permite omitir paréntesis en productos finitos y respalda operaciones tipo composición y homomorfismos a álgebras de endomorfismos; las construcciones algebraicas y las acciones sobre módulos dependen de este orden de multiplicación no ambiguo. ## Demostración Demostración La álgebra de matrices M_n(K) sobre un cuerpo K es asociativa: la multiplicación de matrices es bilineal y cumple (AB)C = A(BC). El anillo de polinomios K[x] con la multiplicación ordinaria también es un ejemplo de álgebra asociativa, graduada por el grado. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar una estructura no asociativa (por ejemplo, una álgebra de Lie con su corchete) como si su producto fuera asociativo, o suponer que la asociatividad implica conmutatividad o la existencia de unidad multiplicativa, conduce a manipulaciones incorrectas. ## Consecuencia Consecuencia Con multiplicación asociativa se obtienen álgebras de operadores bien definidas y categorías de módulos; se pueden formar productos tensoriales y cocientes por ideales bilaterales y aplicar herramientas estándar de teoría de representación. ## Inversión Inversión La noción opuesta es un álgebra no asociativa (como una álgebra de Lie o de Jordan) donde el producto falla la asociatividad y los cálculos requieren el uso explícito de paréntesis e identidades que expresan la falla. ## Límite Límite Requiere una multiplicación bilineal y asociativa sobre un módulo sobre un anillo conmutativo o cuerpo; excluye estructuras puramente coalgebraicas, productos no bilineales y álgebras definidas solo hasta un asociador (por ejemplo, A∞-álgebras fuera del marco estricto). ## Tensión semántica Tensión semántica La asociatividad suele confundirse con la conmutatividad; muchas exposiciones no las distinguen claramente, aunque son propiedades independientes — un álgebra puede ser asociativa sin ser conmutativa. ## Síntesis Síntesis Una álgebra asociativa es un objeto lineal con un producto bilineal que se compone como operadores: une la estructura lineal de un módulo con una multiplicación asociativa para soportar módulos, ideales, cocientes y construcciones algebraicas habituales.