## [Esquema de Picard](/es/node/63752) Definición El esquema de Picard relativo Pic_{X/S} (cuando es representable) es el esquema (o esquema en grupos) que representa el funtor que a cada S-esquema T asigna el grupo de clases de isomorfía de fibrados en línea sobre X_T modulo los que provienen por pullback de T; organiza familias de fibrados en línea y sus clases de equivalencia algebraica y suele descomponerse en componentes como Pic^0 y la parte de Néron–Severi. ## Principio Principio El principio es codificar el comportamiento en familias y las deformaciones de fibrados en línea: el esquema de Picard convierte el funtor de Picard en un objeto geométrico representable tipo grupo cuando se cumplen hipótesis de representabilidad (propiedad propia, planitud, condiciones cohomológicas). ## Demostración Demostración Para una familia lisa y propia de curvas f: X→S, el esquema relativo de Picard existe y su componente conectada Pic^0_{X/S} es un esquema abeliano; si S es un punto e X es una curva proyectiva lisa, Pic^0(X) es la variedad jacobiana que parametriza fibrados en línea de grado cero. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer la existencia del esquema de Picard sin verificar hipótesis de representabilidad (por ejemplo, para familias no propias o singulares), o confundir el esquema de Picard con el stack de Picard o con el grupo de Picard de una sola variedad sin la estructura esquemática y el comportamiento en familia. ## Consecuencia Consecuencia Cuando existe, el esquema de Picard ofrece un objeto geométrico en grupo que controla la variación de fibrados en línea, permite construir duales (p. ej. jacobianas), da herramientas para estudiar alturas y grupos de Néron–Severi, y se conecta con construcciones de Abel–Jacobi y reguladores. ## Inversión Inversión La perspectiva dual enfatiza el grupo de Brauer o el módulo de álgebras de Azumaya, o bien se pasa al stack de Picard que conserva los automorfismos de los fibrados en línea; son parametrizaciones complementarias o ‘inversas’ de datos retorcidos o de orden superior. ## Límite Límite La representabilidad exige hipótesis (propiedad propia, planitud, condiciones de cohomología y cambio de base); fuera de ellas hay que trabajar con el funtor de Picard como faisceau fppf/étale o con el stack de Picard. Sobre bases no reducidas o en característica positiva pueden aparecer patologías, y la conectividad o la estructura de esquema abeliano pueden fallar. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre el esquema de Picard, la variedad de Picard (su mayor subvariedad abeliana reducida y conectada) y el stack de Picard; a menudo se confunden el funtor de puntos, el esquema representativo y los grupos de Picard clásicos, generando ambigüedad sobre representabilidad, conectividad o automorfismos. ## Síntesis Síntesis El esquema de Picard, cuando es representable, es el objeto geométrico que parametra familias de fibrados en línea (modulo pullback) sobre X→S; es un esquema en grupos que organiza la equivalencia algebraica y la información de deformación, con Pic^0 reteniendo la parte variedad abeliana y otras componentes registrando los datos discretos de Néron–Severi.