## [Funtor Monoidal](/es/node/63750) Definición Un funtor F entre dos categorías monoidales (C, ⊗, I) y (D, ⊗', I') equipado con una colección especificada de mapas estructurales: una transformación natural φ_{A,B}: F(A) ⊗' F(B) → F(A ⊗ B) y un mapa unidad φ_0: I' → F(I), que satisfacen diagramas de coherencia (asociatividad y unidad). Existen variantes estrictas, fuertes (φ invertibles), lax y oplax. ## Principio Principio La idea organizadora es transferir la estructura tensorial entre categorías mediante mapas de comparación coherentes en lugar de exigir igualdad estricta; el funtor preserva el producto monoidal y la unidad hasta isomorfismos o mapas compatibles especificados. ## Demostración Demostración El funtor olvido U: (Mon, ×, 1) → (Set, ×, *) es monoidal estricto porque el conjunto subyacente del producto de monoides coincide con el producto de los conjuntos subyacentes y los mapas unidad coinciden estrictamente. Otro ejemplo es un funtor monoidal fuerte inducido por extensión de escalares entre categorías de módulos, con isomorfismos canónicos que dan las φ. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar cualquier funtor entre categorías con tensores como monoidal sin especificar mapas estructurales, o confundir lax con fuerte; suponer que un funtor monoidal preserva automáticamente braiding o simetría sin estructura compatible. ## Consecuencia Consecuencia Un funtor monoidal genuino transporta estructuras algebraicas internas (monoides, comonoides, módulos) de la fuente al destino, induce funtos entre categorías de módulos o álgebras, y garantiza compatibilidad en construcciones que usan tensores. ## Inversión Inversión La inversión formal es un funtor comonoidal (o un funtor monoidal oplax visto dualmente), que proporciona mapas F(A⊗B) → F(A)⊗'F(B); una equivalencia monoidal tiene un inverso con mapas estructurales inversos coherentes. ## Límite Límite Se aplica únicamente entre categorías con estructura monoidal y requiere datos de coherencia explícitos; excluye funtores sin mapas de comparación tensorial y exige distinguir entre los casos estricto, fuerte, lax y oplax. En contextos homotópicos se requieren homotopías de coherencia de orden superior. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre ‘‘funtor monoidal fuerte/estricto’’ y ‘‘lax/oplax’’, y entre preservar solo la estructura monoidal o preservar además simetría/entretejido; la expresión ‘‘funtor monoidal’’ puede ocultar estas precisiones. ## Síntesis Síntesis Un funtor monoidal es un funtor provisto de mapas de comparación coherentes que, hasta isomorfismos o mapas dados, transfieren el producto tensorial y la unidad de una categoría monoidal a otra, permitiendo el transporte controlado de estructuras multiplicativas.