## [Cohomología Étale](/es/node/63744) Definición Una teoría de cohomología de haces calculada en el site étale de un esquema, que produce grupos H^i_et(X,F) para haces étales F (y sus completaciones l-ádicas) que reflejan información aritmética y geométrica y llevan acciones de Galois para variedades sobre cuerpos no algebraicamente cerrados. ## Principio Principio Utilizar la topología étale —recubrimientos por aplicaciones finitas étales— para detectar datos de recubrimiento algebraico invisibles en la topología de Zariski; pasar a límites inversos (cohomología l-ádica) para obtener representaciones galoisianas continuas que cumplen propiedades de comparación y finitud bajo hipótesis adecuadas. ## Demostración Demostración Para una variedad proyectiva lisa X sobre un cuerpo finito, los grupos de cohomología étale l-ádica H^i_et(X_{ar{k}},Q_l) son espacios vectoriales de dimensión finita sobre Q_l con acción de Frobenius; sus trazas aparecen al contar puntos y en las conjeturas de Weil. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar cohomología étale con coeficientes Z_l cuando l coincide con la característica residual sin ajustes (provocando problemas de ramificación salvaje), o tratar la cohomología étale como idéntica a la cohomología singular sobre C sin invocar teoremas de comparación. ## Consecuencia Consecuencia La cohomología étale proporciona representaciones galoisianas l-ádicas, isomorfismos de comparación con otras cohomologías (Betti, de Rham) en casos favorables, y invariantes aritméticos usados en demostraciones que unen topología y teoría de números. ## Inversión Inversión La cohomología singular (Betti) en la topología analítica compleja da invariantes topológicos de los puntos complejos; coincide con la cohomología étale solo tras cambiar la base a C y bajo teoremas de comparación y sistemas de coeficientes adecuados. ## Límite Límite Definida para esquemas con la topología étale y para haces localmente constantes en esa topología; aparecen patologías con coeficientes de torsión iguales a la característica residual, y en característica p se requieren otras teorías (cristalina, de Rham). ## Tensión semántica Tensión semántica Cohomología étale frente a cohomología de Betti: ambas asignan grupos de cohomología pero difieren en topología y estructura aritmética; también hay tensiones entre límites l-ádicos y cohomología étale torsional, y entre cohomologías étale y p-ádica en característica p. ## Síntesis Síntesis La cohomología étale es una cohomología de haces en el site étale que traduce datos de recubrimientos geométricos en invariantes cohomológicos con acción de Galois y continuidad l-ádica, conectando así propiedades aritméticas con invariantes de tipo topológico.