## [Estructura de Hodge Mixta](/es/node/63743) Definición Un espacio vectorial racional de dimensión finita V provisto de una filtración creciente por peso W_• sobre V_Q y una filtración decreciente de Hodge F^• sobre V_C tal que cada pieza graduada Gr^W_n posee una estructura de Hodge pura de peso n; habitual en la cohomología de variedades algebraicas complejas singulares o no compactas. ## Principio Principio Dos filtraciones compatibles codifican el origen geométrico mixto: la filtración por peso mide la complejidad algebraica (singularidades, no compacidad) mientras la filtración de Hodge registra la descomposición complex-analítica; la fonctorialidad y propiedades de exactitud gobiernan los morfismos. ## Demostración Demostración La estructura de Hodge mixta de Deligne en H^i(X,Q) para una variedad algebraica compleja X: en una curva lisa abierta, la filtración por peso refleja las contribuciones de la compactificación y los puntos eliminados, mientras la filtración de Hodge da la descomposición H^{p,q} en las piezas graduadas. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que la estructura de Hodge mixta se descompone canónicamente en piezas puras o tratar las filtraciones de peso y de Hodge como intercambiables; ignorar que las extensiones entre piezas puras pueden contener geometría esencial. ## Consecuencia Consecuencia Las estructuras de Hodge mixtas aportan invariantes refinados (números de Hodge mixtos, filtraciones por peso), controlan la degeneración de series espectrales y permiten comparar invariantes algebraicos y analíticos y construir mapas reguladores. ## Inversión Inversión Una estructura de Hodge pura es el caso especial en que la filtración por peso está concentrada en un único grado, produciendo la descomposición clásica H^{p,q} sin extensiones no triviales entre pesos. ## Límite Límite Se aplica a la cohomología racional (o entera) de dimensión finita de variedades algebraicas, a complejos de origen algebraico o a módulos de Hodge mixtos; no es un invariante topológico general para espacios arbitrarios sin estructura algebraica. ## Tensión semántica Tensión semántica Estructura de Hodge mixta frente a motivo mixto: ambos llevan graduaciones por peso y datos de extensiones, pero las MHS son objetos lineales concretos ligados a la cohomología, mientras los motivos pretenden ser una fuente universal; también se confunden pesos con números de Hodge. ## Síntesis Síntesis Una estructura de Hodge mixta es un par de filtraciones compatibles en un espacio vectorial racional cuyas piezas graduadas son estructuras de Hodge puras; empaqueta cómo las singularidades y la no compacidad afectan la cohomología registrando a la vez peso y descomposición compleja.