##  [Construcción Bar](/es/node/63723) 

 Definición

Una construcción simplicial o a nivel de cadenas estándar que produce una resolución de una álgebra asociativa aumentada o de un módulo, codifica extensiones y permite calcular fonctores derivados como Tor y la homología de Hochschild.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Construir un complejo de cadenas explícito cuyas caras y degeneraciones reflejen la concatenación y la aumentación, de modo que la homología del complejo calcule extensiones algebraicas e invariantes derivados.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para una álgebra asociativa aumentada A y un A-módulo derecho M y un A-módulo izquierdo N, el complejo bar bilateral B(M,A,N) tiene en grado n el término M ⊗ A^{⊗n} ⊗ N y una diferencial dada por la multiplicación y la aumentación; su homología calcula Tor^A_*(M,N).

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar la construcción bar clásica sin modificarla en un objeto sin aumentación o con un producto no asociativo, lo que produce un complejo cuya homología deja de reflejar los fonctores derivados pretendidos.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Aplicada correctamente, la construcción bar proporciona resoluciones projectivas (o libres) explícitas, facilita cálculos concretos de Tor y de la homología de Hochschild y hace visibles clases de extensión superiores y operaciones tipo Massey.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Dualizar la construcción bar (pasar a complejos Hom o a duales lineales) conduce a modelos de cocadenas como la construcción cobar o a cálculos de Ext en lugar de Tor.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Su ámbito es el de álgebras asociativas aumentadas, módulos y monoides en categorías monoidales con suficientes proyectivos o una estructura de modelos elegida; excluye el uso ingenuo en multiplicaciones no asociativas o sin atender completaciones para potencias tensoriales infinitas.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Existe tensión entre la construcción bar como resolución concreta y combinatoria y las resoluciones homotópicas abstractas dadas por reemplazos cofibrantes en teoría de modelos; ambas representan información derivada pero difieren en concreción y functorialidad.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La construcción bar es una receta simplicial/cadena explícita que resuelve estructuras asociativas aumentadas transformando multiplicación y aumentación en un complejo cuya homología calcula invariantes de extensión como Tor y la homología de Hochschild.