##  [Funtor Derivado](/es/node/63719) 

 Definición

Una construcción que asocia a un funtor (izquierdo o derecho) entre categorías abelianas (o adecuadamente derivadas) una secuencia de funtors superiores (R^iF o L_iF) obtenidos al aplicar F a resoluciones (inyectivas o proyectivas) y tomar cohomología; mide cuánto falla F en ser exacto.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Los funtores derivados convierten el fallo de exactitud en invariantes homológicos computables: resolviendo objetos y aplicando el funtor original, los grupos de cohomología registran obstrucciones y datos de extensión que el funtor no derivado pasa por alto.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo: Ext^i(-,-) son los funtores derivados derechos R^i Hom(−,−), y Tor_i(-,-) son los funtores derivados izquierdos L_i(− ⊗ −); surgen al aplicar Hom o tensor a resoluciones inyectivas o proyectivas y tomar cohomología.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Intentar calcular funtores derivados sin resoluciones apropiadas, usar clases no resolventes cuando la categoría carece de suficientes proyectivos/inyectivos, o tratar los funtores derivados como igualdades objeto por objeto en vez de construcciones cohomológicas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Los funtores derivados producen sucesiones exactas largas, sucesiones espectrales y clases de obstrucción que vinculan sucesiones exactas cortas en la categoría fuente con datos homológicos en la categoría destino; sistematizan cálculos cohomológicos e invariantes.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La inversión es el funtor no derivado actuando sobre objetos proyectivos o inyectivos para los que los funtos derivados superiores se anulan: en ese entorno restringido la construcción derivada colapsa al funtor original y no aparece cohomología nueva.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Los funtores derivados requieren contextos abelianos o derivados y típicamente suficientes proyectivos o inyectivos (o mejoras modelo/derivadas); en contextos no abelianos hay que usar reemplazos homotópicos (funtor derivado en la categoría de homotopía) en lugar de resoluciones ingenuas.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

La noción de funtor derivado compite con construcciones homotópicamente invariantes o derivadas totales: la imagen clásica R^i/L_i es suficiente en muchos casos abelianos, pero en contextos homotópicos o ∞-categoricos se prefieren funtores derivados totales para mayor invariancia.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un funtor derivado extiende un funtor limitado por la exactitud a una familia graduada que mide su fallo: mediante resoluciones y cohomología codifica extensiones, obstrucciones e información de orden superior esencial en álgebra homológica.