## [Descomposición de Hodge](/es/node/63714) Definición Una descomposición de la cohomología compleja de un objeto geométrico adecuado (clásicamente una variedad de Kähler compacta o una variedad proyectiva suave) en suma directa de piezas H^{p,q}, H^n(X,ℂ) = ⊕_{p+q=n} H^{p,q}(X), compatible con la conjugación compleja y que relaciona invariantes analíticos (Dolbeault), algebraicos y topológicos mediante representantes armónicos y la filtración de Hodge. ## Principio Principio La teoría de Hodge elíptica y el lema ∂∂̄ producen formas armónicas que representan clases de cohomología; la descomposición surge de la teoría de Hodge (formas armónicas de tipo (p,q)) y conduce a la filtración de Hodge cuyos graduados sucesivos recuperan H^{p,q}. ## Demostración Demostración Ejemplo: para una superficie de Kähler compacta S, H^1(S,ℂ) se descompone como H^{1,0}⊕H^{0,1} con H^{1,0} el espacio de formas holomorfas de grado uno; para una curva proyectiva suave esto recupera la división clásica de H^1 en partes holomorfa y antiholomorfa y controla la geometría del Jacobiano. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que existe una descomposición de Hodge para cualquier variedad compleja o para espacios no compactos, no Kähler; ignorar que las variedades singulares requieren estructuras de Hodge mixtas en lugar de descomposiciones puras, o pasar por alto fenómenos de torsión en la cohomología entera. ## Consecuencia Consecuencia Proporciona fuertes restricciones sobre los números de Betti mediante números de Hodge, controla invariantes geométricos (períodos, jacobianos intermedios), fundamenta la teoría de Hodge y las variaciones de estructuras de Hodge y conecta ciclos algebraicos con información trascendental mediante clases de Hodge. ## Inversión Inversión Sustituir la descomposición pura de Hodge por la filtración de Hodge o por estructuras de Hodge mixtas ofrece la perspectiva inversa cuando falla la pureza: la filtración encapsula la misma información sin una suma directa, y las estructuras mixtas registran filtraciones por peso para variedades singulares o no compactas. ## Límite Límite Se mantiene como descomposición pura para variedades de Kähler compactas y variedades proyectivas suaves; fuera de este contexto hay que usar la filtración de Hodge, la sucesión espectral de Frölicher o la teoría de Hodge mixta para variedades singulares/no compactas/degeneradas donde la descomposición pura puede fallar. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre la descomposición de Hodge y la semántica de la cohomología de Dolbeault: Dolbeault calcula H^{p,q} en el caso Kähler pero puede diferir en general; comparada con descomposiciones puramente topológicas (que no llevan tipo), la descomposición de Hodge refina la topología mediante tipos dependientes de la estructura compleja. ## Síntesis Síntesis La descomposición de Hodge expresa la cohomología compleja como suma directa de piezas de tipo (p,q) proporcionadas por representantes armónicos en espacios Kähler o proyectivos, estableciendo un puente potente entre formas diferenciales analíticas, geometría algebraica e invariantes topológicos, y admitiendo generalizaciones filtradas o mixtas cuando se pierde la pureza.