##  [Transformada de Fourier–Mukai](/es/node/63712) 

 Definición

Un transformador integral entre categorías derivadas acotadas de haces coherentes D^b(X) → D^b(Y) determinado por un objeto (el núcleo) P en D^b(X×Y); envía F ∈ D^b(X) a Rπ_{Y*}(π_X^*F ⊗^L P) y codifica correspondencias entre X e Y a nivel derivado.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Los núcleos integrales se componen por convolución derivada en productos fibrados, de modo que la composición de transformadas Fourier–Mukai corresponde a la convolución de núcleos; cuando el núcleo satisface condiciones de propiedad y perfección la transformada es exacta y puede producir equivalencias (socios Fourier–Mukai).

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo: para variedades abelianas duales A y Â, el fibrado de Poincaré P en A× define una equivalencia Fourier–Mukai D^b(A) ≅ D^b(Â); los haces skyscraper se transforman en fibrados vectoriales estables o en fibrados en líneas trasladados según el núcleo, reflejando fenómenos clásicos de la transformada de Fourier en geometría algebraica.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Tratar la transformada como una transformada de Fourier puntual o ingenua ignorando pullback/pushforward derivados, condiciones de Tor en el tensado, o usar núcleos no perfectos/no propios que rompen la acotación y la coherencia; asumir que toda aplicación biracional induce una equivalencia Fourier–Mukai sin comprobar existencia del núcleo y condiciones de finitud.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona una poderosa fuente de equivalencias derivadas, identifica espacios de módulos, transfiere condiciones de estabilidad e invariantes, y produce isomorfismos en la (co)homología de Hochschild y en muchos invariantes numéricos cuando existe una equivalencia.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La inversa de una equivalencia Fourier–Mukai es otra transformada Fourier–Mukai con el núcleo adjunto (dual derivado e intercambio); si no existe un núcleo adjunto con la finitud requerida, la transformada puede ser plenamente fiel pero no esencialmente sobreyectiva, produciendo incrustaciones en lugar de equivalencias.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Funciona para categorías derivadas de haces coherentes bajo hipótesis de propiedad, dimensión Tor finita y núcleos perfectos; falla o debe ser sustituida para categorías no acotadas, coeficientes no coherentes o núcleos sin finitud, y requiere cuidado en espacios singulares.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

A menudo se compara con la transformada de Fourier clásica en espacios de funciones: ambas usan núcleos integrales y convolución, pero Fourier–Mukai vive en geometría algebraica derivada y opera sobre complejos y pushforward/pullback derivados en vez de integrales puntuales oscilatorias.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una transformada Fourier–Mukai es un functor integral definido por núcleo entre categorías derivadas que realiza correspondencias geométricas como convoluciones derivadas; bajo hipótesis de finitud y perfección produce equivalencias profundas que vinculan geometría, espacios de módulos e invariantes homológicos.