##  [Correspondencia de Galois](/es/node/63703) 

 Definición

Una correspondencia biyectiva (que invierte el orden) entre las subestructuras intermedias de una extensión de cuerpos y los subgrupos del grupo de automorfismos de la extensión, que identifica los subcampos fijados por subgrupos con dichos subgrupos en el caso de una extensión de Galois.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Los grupos de simetría de una extensión codifican la estructura de retículo de subcampos: tomar puntos fijos de un subgrupo y tomar el grupo de automorfismos de un subcampo son operaciones inversas bajo las hipótesis de la teoría de Galois.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para una extensión finita de Galois E/F, la aplicación K ↦ Gal(E/K) es una biyección entre los subcampos intermedios F ⊆ K ⊆ E y los subgrupos de Gal(E/F); los subcampos normales corresponden a subgrupos normales y los grados satisfacen [K:F] = |Gal(E/F)|/|Gal(E/K)|.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar la correspondencia a extensiones no normales o inseparables, o tratar cualquier extensión como Galois sin comprobar normalidad y separabilidad, produce coincidencias erróneas y la pérdida de la inversión.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Bien aplicada, permite traducir preguntas sobre la resolubilidad de polinomios, grados de extensión y estructura intermedia en problemas de teoría de grupos sobre subgrupos y series normales, facilitando clasificación y cálculo explícito.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

En vez de asignar a un campo un subgrupo, se puede partir de un subgrupo y recuperar su campo fijo; la correspondencia invierte la inclusión y traduce la estructura de subgrupos en datos a nivel de campos.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere una extensión de Galois (clásicamente finita, normal y separable) para la forma biyectiva simple; las extensiones infinitas o no Galois exigen enriquecimientos topológicos o no proporcionan biyecciones. Trata campos y automorfismos, no estructuras algebraicas arbitrarias.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Difiere de la noción general de conexión de Galois en teoría de órdenes (aplicaciones monótonas entre posets); la correspondencia de Galois es una instancia específica y más estricta en teoría de cuerpos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La correspondencia de Galois unifica las estructuras intermedias de campos con la teoría de grupos de simetría: bajo las hipótesis de Galois, formar grupos de automorfismos y formar subcampos fijos son operaciones inversas que permiten estudiar extensiones algebraicas mediante teoría de grupos.