## [Esquema No Separado](/es/node/63692) Definición Un esquema que no satisface el axioma de separación: la diagonal Δ: X → X×_S X no es una inmersión cerrada (o equivalentemente no es cerrada/apropiada), de modo que puntos o morfismos que serían únicos en un contexto separado pueden perder unicidad. Los esquemas no separados exhiben patologías de pegado como orígenes duplicados o fallos de unicidad de límites. ## Principio Principio La separación formaliza un análogo algebraico de la propiedad de Hausdorff: que la diagonal sea una inmersión cerrada garantiza que dos morfismos sobre S que coinciden en un abierto denso sean iguales y asegura propiedades de unicidad para límites y el criterio valuativo. El fallo de esta propiedad refleja un pegado demasiado generoso de piezas locales. ## Demostración Demostración Ejemplo clásico: la recta afín con origen duplicado, obtenida pegando dos copias de A^1 a lo largo de A^1 \ {0}, produce un esquema no separado: los dos orígenes no se pueden separar por vecindarios abiertos disjuntos y dos secciones pueden coincidir fuera del origen pero diferir en él. Esto provoca fallos explícitos de unicidad para morfismos desde anillos de valoración. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir no separado con no propio o con no Hausdorff en sentido analítico; 'no separado' es una condición algebraica precisa sobre la diagonal y no implica ni excluye patologías como no reducido. También aplicar construcciones que requieren implícitamente separación (funcores de Picard, moduli) sin verificar puede llevar a conclusiones erróneas. ## Consecuencia Consecuencia Los esquemas no separados rompen la unicidad del criterio valuativo, complican las interpretaciones modulares, generan límites no únicos y pueden impedir la representabilidad de funtors (por ejemplo, Picard, Hom). Exigen precaución extra en el descenso y en la formación de cocientes o pegados. ## Inversión Inversión Un esquema separado tiene diagonal cerrada: los puntos y los morfismos satisfacen las propiedades de unicidad esperadas, los límites son únicos cuando existen y muchas afirmaciones de representabilidad y descenso se simplifican y se cumplen bajo hipótesis estándar. ## Límite Límite La separación es una condición sobre morfismos de esquemas relativa a una base S; la no separación suele ser patológica en el contexto de moduli y construcciones geométricas pero puede aparecer de forma natural en pasos intermedios de pegado. Los espacios algebraicos y stacks tienen sus propias nociones de separación; la no separación en esquemas debe distinguirse de fenómenos topológicos no Hausdorff en la topología subyacente. ## Tensión semántica Tensión semántica La tensión surge entre la intuición geométrica de 'separación' (tipo Hausdorff) y la formulación categórica (diagonal como inmersión cerrada). A veces se confunden ejemplos topológicos no Hausdorff con no separación algebraica o viceversa; el criterio de la diagonal es la comprobación autorizada. ## Síntesis Síntesis Un Esquema No Separado es un esquema cuya diagonal algebraica no es una inmersión cerrada, reflejando un pegado excesivo de piezas locales que destruye la unicidad de morfismos y límites. La condición tiene realizaciones concretas (origen duplicado) y consecuencias importantes para moduli, descenso y representabilidad.