## [Variedad No Normal](/es/node/63686) Definición Una variedad o esquema que no es normal, es decir, en algún punto uno de sus anillos locales no es cerrado integralmente en su cuerpo de fracciones. La no normalidad produce fenómenos en ramas, fallos de cierre integral y puede manifestarse como cúspides, puntos de pellizco u otras fallas más sutiles de cierre integral en codimensión uno. ## Principio Principio La normalidad organiza la coherencia geométrica exigiendo el cierre integral de los anillos locales; de forma equivalente (criterio de Serre) la normalidad se caracteriza por R_1 (regularidad en codimensión uno) junto con S_2 (condición de profundidad). La falla de la integralidad en los anillos locales conduce a que la normalización separe ramas y a obstrucciones en la teoría de divisores. ## Demostración Demostración Ejemplo estándar: la cúspide Spec k[t^2,t^3] no es normal porque t es integral sobre k[t^2,t^3] pero no pertenece al subanillo; la normalización es Spec k[t], que separa la recta paramétrica. Otro ejemplo concreto es un punto de pellizco donde la normalización reemplaza el anillo local no cerrado integralmente por su clausura integral, separando o suavizando ramas. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir que 'no normal' es equivalente a 'singular' o a 'reducible'; un esquema puede ser singular y aun así normal en dimensiones mayores, o reducido pero no normal. Confundir no reducido con no normal es habitual: un esquema reducido puede fallar en ser cerrado integralmente. ## Consecuencia Consecuencia La no normalidad afecta al grupo de clases de divisores, a la distinción Weil/Cartier y al comportamiento de haces: los haces reflexivos y los complejos dualizantes se comportan de forma distinta sobre el lugar no normal. La normalización modifica la topología y puede separar ramas, alterando invariantes numéricos y categóricos. ## Inversión Inversión Una variedad normal tiene anillos locales cerrados integralmente en todas partes; sus anillos locales en codimensión uno son regulares y la teoría de divisores se simplifica (los divisores de Weil se aproximan más a los de Cartier). La normalidad elimina los comportamientos en rama derivados de fallos de cierre integral. ## Límite Límite El término es más significativo para esquemas íntegros o reducidos de tipo finito; para esquemas reducibles se examina la normalidad por componentes. Los anillos no noetherianos y ciertos ejemplos no reducidos requieren precaución: el cierre integral puede ser sutil y las equivalencias habituales (criterio de Serre) exigen hipótesis noetherianas. ## Tensión semántica Tensión semántica Nociones cercanas: 'regular', 'normal' y 'reducido' son diferentes. A menudo se confunde 'no normal' con 'singular' o 'no reducido'; la tensión radica en que la normalidad es una condición de integralidad, mientras que la suavidad/regulidad son condiciones diferenciales y la reducidoidad trata la ausencia de nilpotentes. ## Síntesis Síntesis Una Variedad No Normal es aquella cuya álgebra local falla en el cierre integral: localmente hay elementos integrales sobre el anillo que no están contenidos en él, produciendo fenómenos en ramas que la normalización corrige y con consecuencias concretas en la teoría de divisores y la topología geométrica.