## [Falta de Planitud](/es/node/63662) Definición La propiedad de un módulo o morfismo de no ser plano: el tensor con dicho módulo no preserva sucesiones exactas, por lo que el cambio de base puede dar resultados no exactos y aparecen torsión o grupos Tor. ## Principio Principio La planitud es equivalente a la exactitud del functor tensor; la falta de planitud señala relaciones ocultas o torsión que obstruyen que la exactitud pase por productos tensoriales y provocan anomalías al cambiar la base. ## Demostración Demostración Considerar la sucesión exacta 0→Z --×2--> Z → Z/2Z →0 y tensorizar con Z/2Z; como Z/2Z no es plano sobre Z, el tensór destruye la exactitud y Tor_1(Z/2Z,Z/2Z)≠0, mostrando la falta de planitud. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir que un cambio de base o pullback preserva núcleos y cokernels sin comprobar la planitud conduce a cálculos de fibras incorrectos o afirmaciones falsas sobre dimensiones en geometría algebraica. ## Consecuencia Consecuencia La falta de planitud causa el fallo de teoremas de cambio de base ingenuos, la no constancia de la dimensión de las fibras y puede producir torsión no deseada en familias; complica descenso, deformación y cálculos de cohomología. ## Inversión Inversión La planitud restablece la exactitud del tensor: módulos planos y morfismos planos permiten que el cambio de base conmute con la toma de núcleos y preserven propiedades fibra a fibra, dando familias mejor comportadas. ## Límite Límite Notión para módulos y morfismos de esquemas o anillos; la falta de planitud no implica por sí misma una patología universal y debe examinarse respecto de las sucesiones exactas o cambios de base considerados. ## Tensión semántica Tensión semántica Entre planitud, proyectividad y libertad: proyectivo o libre implica plano, pero plano no implica proyectivo; no hay que confundir falta de planitud con mera ausencia de libertad. ## Síntesis Síntesis La falta de planitud es el fallo sistemático del tensor para preservar la exactitud: revela torsión o relaciones ocultas que estropean el cambio de base, el comportamiento fibra a fibra y muchas simplificaciones esperadas en familias planas.