## [Nilradical](/es/node/63649) Definición El ideal de un anillo R formado por todos los elementos nilpotentes; es decir, el conjunto {a ∈ R : a^n = 0 para algún n>0}, que es un ideal y coincide con la intersección de todos los ideales primos de R. ## Principio Principio El nilradical mide el fallo de reducción a nivel de ideales: al anular el nilradical se obtiene el cociente más grande reducido de R, y su soporte es el lugar no reducido en lenguaje esquemático. ## Demostración Demostración En R = k[x]/(x^n) el nilradical es el ideal generado por la clase de x; en un producto finito de cuerpos el nilradical es cero porque no hay nilpotentes no nulos, y en un anillo local artiniano no reducido coincide con el ideal nilpotente máximo. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir el nilradical con el radical de Jacobson o asumir que es finitamente generado en general; el nilradical no tiene por qué coincidir con radicales definidos por la nilpotencia de módulos o con nociones de nilpotencia topológica. ## Consecuencia Consecuencia Quocientar R por su nilradical produce el anillo reducido R_red; geométricamente esto elimina la estructura no reducida y revela las componentes reducidas subyacentes al suprimir direcciones infinitesimales. ## Inversión Inversión Si el nilradical es cero, R es reducido; la ausencia de nilpotentes simplifica las descomposiciones primarias y asegura la correspondencia entre primos minimales y componentes irreducibles. ## Límite Límite El nilradical está contenido en todo ideal primo y puede contener estrictamente a cero; no detecta elementos de torsión que no son nilpotentes y no captura la nilpotencia en familias o completaciones salvo que se estudie en esos contextos. ## Tensión semántica Tensión semántica El nilradical puede confundirse con el radical de Jacobson (intersección de ideales máximos) o con el radical de un ideal; estos objetos coinciden en casos especiales pero tienen significados algebraicos y usos distintos. ## Síntesis Síntesis El nilradical es el ideal que reúne todo el comportamiento nilpotente en R: es la intersección de los primos, su cociente da el anillo reducido y delimita dónde viven los fenómenos infinitesimales o no reducidos.