## [Punto de Ramificación](/es/node/63643) Definición Un punto de un morfismo finito (o extensión) en el que el mapa deja de ser étale o localmente bijectivo, medido por un índice de ramificación mayor que uno; algebraicamente esto corresponde a inercia no trivial o a una extensión no trivial de los campos residuales. ## Principio Principio Los puntos de ramificación ocurren cuando la álgebra local del morfismo adquiere factores nilpotentes o repetidos en la fibra, o equivalentemente cuando el índice de ramificación valuativo o el subgrupo de inercia es no trivial, causando desviación de la étaleness local. ## Demostración Demostración Para el homomorfismo de anillos k[t] → k[u] que envía t a u^e, la imagen de u = 0 es un punto de ramificación de índice e: la fibra tiene multiplicidad e, la diferencial se anula de orden e−1 y la extensión de cuerpos residuales es trivial mientras que el grado local aumenta. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir un punto donde la base es singular con un punto de ramificación del morfismo es un error: la ramificación concierne al comportamiento de la fuente sobre la base, no a singularidades intrínsecas de la base. ## Consecuencia Consecuencia Localizar puntos de ramificación identifica donde se apoyan invariantes locales como la diferente, la discriminante y el conductor, influye en fórmulas tipo Riemann–Hurwitz y controla la acción de grupos locales de Galois o de inercia. ## Inversión Inversión Un punto étale (no ramificado) es aquel donde el morfismo es plano y no ramificado: el índice de ramificación es uno, la diferencial no se anula y los anillos locales se comportan como extensiones separables. ## Límite Límite Se aplica a morfismos finitos de esquemas, extensiones finitas de campos locales y recubrimientos algebraicos; excluye fenómenos topológicos de bifurcación que no contienen datos algebraicos de inercia y debe considerar la inseparabilidad en característica positiva. ## Tensión semántica Tensión semántica El término algebraico 'punto de ramificación' solapa con 'punto de bifurcación' analítico, pero enfatiza inercia, índices y discriminante más que monodromía; en contextos aritméticos se distingue además entre comportamientos moderados y salvajes. ## Síntesis Síntesis Un punto de ramificación es un punto de la base de un morfismo algébrico finito donde falla la étaleness: los grados locales aumentan o cambian, la inercia actúa de forma no trivial y los invariantes algebraicos registran la desviación respecto a la no ramificación.