## [Punto de Ramificación](/es/node/63641) Definición Un punto en un mapa de recubrimiento o proyección donde dos o más hojas locales se encuentran y el grado local del mapa disminuye; localmente el mapa deja de ser un homeomorfismo porque preimágenes distintas confluyen. ## Principio Principio Un punto de bifurcación se caracteriza por un cambio en la estructura local de hojas del recubrimiento: la continuación analítica o la monodromía alrededor del punto de la base permuta las hojas de manera no trivial y el grado local es menor que el grado genérico. ## Demostración Demostración Para la aplicación z ↦ z^2 en el plano complejo, el origen es un punto de bifurcación: puntos cercanos tienen dos raíces cuadradas distintas (dos hojas), pero en 0 las dos hojas se encuentran y el grado local desciende de dos a uno. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Llamar punto de bifurcación a cualquier punto singular del dominio es incorrecto; una cúspide o autointersección que no provenga de la coalescencia de hojas de recubrimiento no es un punto de bifurcación de la proyección. ## Consecuencia Consecuencia La identificación correcta de puntos de bifurcación produce una representación de monodromía no trivial del grupo fundamental de la base, exige cortes de rama o pegado de superficies de Riemann en modelos analíticos y localiza el lugar discriminante del recubrimiento. ## Inversión Inversión Un punto no bifurcado (regular) es aquel donde el recubrimiento es localmente un homeomorfismo y cada punto de la fibra está aislado con grado local igual al grado genérico. ## Límite Límite El término se aplica a recubrimientos, proyecciones y aplicaciones analíticas finitas; excluye singularidades arbitrarias que no proceden de la coalescencia de hojas y no distingue por sí mismo entre ramificación moderada y ramificación salvaje en contextos aritméticos. ## Tensión semántica Tensión semántica En topología/análisis complejo 'punto de bifurcación' a menudo coincide con 'punto de ramificación' en álgebra, pero enfatizan rasgos distintos: el primero resalta el pegado de hojas y la monodromía, mientras que ramificación en aritmética enfatiza inercia e índices valuativos. ## Síntesis Síntesis Un punto de bifurcación es un punto de la base de un recubrimiento o proyección donde la estructura multivaluada local degenera: las hojas se encuentran, el grado local baja y la continuación analítica alrededor del punto permuta las hojas de forma no trivial.