## [Punto Singular](/es/node/63634) Definición Un punto de una variedad o esquema algebraico en el que la estructura local deja de ser suave o regular; equivalentemente, un punto cuyo anillo local no es regular o donde la matriz jacobiana de las ecuaciones que definen la variedad pierde rango. ## Principio Principio Los puntos singulares se caracterizan por el fallo de la dimensión o regularidad esperada: el espacio tangente tiene dimensión mayor que la dimensión local (de Krull) de la variedad, lo que algebraicamente corresponde a que el ideal maximal requiere más generadores/relaciones que en el caso liso. ## Demostración Demostración En una curva planeada definida por f(x,y)=0, un punto p es singular cuando las derivadas parciales ∂f/∂x y ∂f/∂y se anulan en p. Por ejemplo, f(x,y)=y^2-x^3 tiene el origen como punto singular porque su gradiente es cero allí. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Llamar 'singular' a cualquier solución del sistema de ecuaciones aun cuando la jacobiana tenga rango completo — confundir un punto ordinario con un punto singular o usar 'singular' para significar 'excepcional' fuera del contexto local algebraico. ## Consecuencia Consecuencia En un punto singular no pueden aplicarse las herramientas habituales del análisis liso: no hay una línea tangente o estructura de variedad local bien definida; los cálculos del espacio tangente deben considerar componentes embebidas o exceso y los invariantes (multiplicidad, invariante δ, número de Milnor) se ven afectados. ## Inversión Inversión Un punto liso (regular), donde el anillo local es regular y la jacobiana tiene rango máximo, proporcionando el espacio tangente de dimensión esperada. ## Límite Límite Se aplica en sentido esquema-teórico a puntos de variedades o esquemas sobre cualquier base; excluye comportamientos analíticos o topológicos que no se manifiesten algebraicamente. Singularidades aisladas y no aisladas, y componentes embebidas, son subcasos distintos. ## Tensión semántica Tensión semántica Coincide parcialmente con la noción de punto crítico en topología diferencial (derivada nula) pero difiere porque la singularidad algebraica se define mediante la regularidad esquema-teórica y la multiplicidad, no solo por la anulación de derivadas. ## Síntesis Síntesis Un punto singular es donde la estructura algebraica local deja de ser regular: se detecta por un anillo local no regular o por la pérdida de rango de la jacobiana y se manifiesta geométricamente como la ausencia de un espacio tangente suave bien definido.