## [Teoría Completa](/es/node/63615) Definición Una teoría T es completa si, para toda fórmula φ en su lenguaje, o bien T demuestra φ o bien T demuestra ¬φ; equivalentemente, dos modelos de T son elementarmente equivalentes, por lo que la teoría decide la verdad o falsedad de cada fórmula hasta consecuencia lógica. ## Principio Principio Consistencia máxima: una teoría completa contiene para cada enunciado una elección definitiva de verdad o negación compatible con sus axiomas, lo que la convierte en un conjunto de enunciados consistente y maximal respecto a la consecuencia lógica. ## Demostración Demostración Ejemplo: la teoría de cuerpos real cerrados en la lengua de cuerpos ordenados es completa: cualesquiera dos cuerpos real cerrados satisfacen las mismas oraciones de primer orden en esa lengua; de modo análogo, la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de una característica fija es completa en la lengua de anillos. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir la completitud de una teoría con la decidibilidad (una teoría puede ser completa pero indecidible) o con la categoricidad (una teoría completa puede todavía tener múltiples modelos no isomorfos de una determinada cardinalidad). ## Consecuencia Consecuencia La completitud garantiza que, en principio, para cualquier frase puede determinarse su demostrabilidad o refutabilidad desde la teoría (con las salvedades sobre efectividad), facilita la comparación de modelos mediante equivalencia elemental y sustenta muchos argumentos de clasificación basados en tipos y saturación. ## Inversión Inversión Una teoría incompleta deja oraciones sin decidir —ni demostrables ni refutables por los axiomas—; esa indeterminación refleja a menudo una diversidad model-teórica genuina entre los modelos de la teoría. ## Límite Límite La completitud es relativa al lenguaje elegido y a la noción deductiva: cambiar el lenguaje o añadir axiomas puede romper la completitud; la completitud por sí sola no asegura decidibilidad ni unicidad de modelos de un cierto tamaño. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre completitud y decidibilidad: la completitud es una maximalidad semántico-sintáctica sobre oraciones, mientras que la decidibilidad exige un procedimiento efectivo para determinar la pertenencia a la teoría; una teoría puede tener una sin la otra. ## Síntesis Síntesis Una teoría completa es una axiomatización maximamente informativa en un lenguaje: decide cada oración (por prueba o refutación), hace que todos sus modelos sean elementarmente equivalentes y ofrece una base firme para el análisis model-teórico, aun cuando las preguntas algorítmicas permanezcan abiertas.