##  [Clase Elemental](/es/node/63592) 

 Definición

Una clase de estructuras que es exactamente la clase de modelos de alguna teoría de primer orden, equivalente a una clase cerrada bajo equivalencia elemental y bajo la toma de subestructuras elementales.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Las clases elementales son las definibles a nivel de lógica de primer orden: la pertenencia se caracteriza por la satisfacción de un conjunto de oraciones de primer orden y es estable bajo las nociones de preservación propias de la semántica de primer orden (subestructuras y extensiones elementales).

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

La clase de cuerpos algebraicamente cerrados de característica 0 es elemental porque es la clase de modelos de la teoría de primer orden ACF_0; cualquier subestructura elemental de un cuerpo así sigue siendo algebraicamente cerrada de característica 0.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Llamar elemental a una clase porque está cerrada bajo isomorfismo no es suficiente; por ejemplo, la clase de grupos finitos es cerrada por isomorfismo pero no es elemental porque la finitud no puede expresarse en primer orden.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Si una clase es elemental, se aplican herramientas de teoría de modelos: pueden estudiarse teorías completas, modelos primos y saturados dentro de la clase, y aprovechar la compacidad y Löwenheim‑Skolem para analizar el espectro y los conjuntos definibles en los miembros.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Una clase no elemental (por ejemplo, una clase elemental abstracta o una clase definible solo en lógica infinitaria) puede ser útil pero carece de caracterización por una teoría de primer orden y puede no cerrarse bajo subestructuras elementales o equivalencia elemental.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Excluye clases definidas únicamente por condiciones de segundo orden o infinitarias y las que requieren restricciones de cardinalidad como 'finita' o 'numerable'; asume una lengua de primer orden fija y la semántica estándar de Tarski.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre 'axiomatizable' (por un conjunto de oraciones de primer orden) y 'axiomatizable finitamente' o 'por oraciones universales'; distintos autores usan 'elemental' para enfatizar propiedades de cierre, lo que puede ocultar restricciones sobre cuantificadores o finitud.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una clase elemental es la encarnación model‑teórica de la definibilidad en primer orden: una colección de estructuras capturada exactamente por una teoría de primer orden y estable bajo las nociones elementales que preservan la verdad de primer orden.