## [Operad](/es/node/63588) Definición Una estructura algebraica que codifica colecciones de operaciones con múltiples entradas y una salida, junto con mapas de composición y (en el caso simétrico) acciones de los grupos simétricos que expresan la permutación de las entradas. ## Principio Principio Las operaciones se organizan por aridad, se componen según reglas de injerto en forma de árbol y obedecen axiomas de equivarianza y unidad; esto aísla la combinatoria de componer operaciones sin comprometerse con un portador concreto donde actúen. ## Demostración Demostración La operad de endomorfismos de un espacio vectorial V tiene como operaciones n-arias las aplicaciones multilineales V^n → V con composición dada por sustitución; las álgebras sobre la operad asociativa recuperan estructuras de álgebra asociativa en V. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar operads indistintamente con monoides o asumir que las operads siempre manejan salidas múltiples; para operaciones con salidas múltiples debe usarse una PROP, y para codificar una simple composición binaria asociativa puede bastar un objeto monoide. ## Consecuencia Consecuencia Las operads clasifican tipos de álgebras (asociativas, conmutativas, de Lie, A-infinity, etc.), proporcionan marcos para estructuras algebraicas invariantes por homotopía y organizan leyes de composición superiores en topología y geometría algebraica. ## Inversión Inversión La noción dual categórica es una cooperad (descomposiciones en lugar de composiciones); invertir la dirección de la composición produce estructuras utilizadas para modelar coalgebras y operaciones cohomológicas en lugar de multiplicaciones algebraicas. ## Límite Límite Se concentra en operaciones de salida única y leyes de composición especificadas; excluye sistemas de salidas múltiples (PROPs), estructuras sin datos coherentes de equivarianza y colecciones no equipadas con unidades y asociatividades. ## Tensión semántica Tensión semántica Operad compite con Teorías De Lawvere y mónadas como marcos para teorías algebraicas: las operads enfatizan el injerto en árboles y las acciones de grupos simétricos según la aridad, mientras que las teorías de Lawvere ven las aridades como productos y las mónadas codifican la estructura mediante endofuntores; cada marco es más adecuado a ciertos contextos. ## Síntesis Síntesis Una Operad es un dispositivo formal que organiza operaciones por aridad con reglas prescritas de composición y simetría para especificar y clasificar estructuras algebraicas construidas a partir de operaciones multi-entrada con salida única y sus composiciones coherentes.