## [Expansión en Series de Puiseux](/es/node/63549) Definición Una representación local de una rama de una función algebraica cerca de un punto (típicamente una singularidad) como una serie formal o convergente en una potencia fraccionaria de la coordenada local, permitiendo exponentes con denominadores acotados. ## Principio Principio Se emplea el polígono de Newton y un cambio de variable ramificado para resolver la relación algebraica término a término; las pendientes del polígono determinan los exponentes fraccionarios y las multiplicidades, produciendo una cubierta ramificada finita donde la rama se expresa como serie en un único parámetro fraccionario. ## Demostración Demostración Para la curva plana dada por y^2 = x^3 + x^4 cerca de x = 0 se obtiene una rama y = x^{3/2}(1 + (1/2) x + ...). El polígono de Newton da la pendiente 3/2 y la sustitución iterada produce los coeficientes de la serie de Puiseux. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar un desarrollo de Puiseux a una función no algebraica (por ejemplo una función trascendente) o truncar la serie sin comprobar la ramificación puede dar multiplicidades incorrectas o perder la monodromía; suponer convergencia sin verificar condiciones en característica positiva es también erróneo. ## Consecuencia Consecuencia Los desarrollos de Puiseux correctos proporcionan parametrizaciones locales, multiplicidades de intersección explícitas, información para la resolución de singularidades y acceso a la monodromía y a la continuación analítica de ramas algebraicas. ## Inversión Inversión Una serie de Taylor (o de Laurent) utiliza solo exponentes enteros y se aplica en ramas no ramificadas; invertir a una serie de potencias ordinaria impide describir ramas que requieren genuinamente potencias fraccionarias y ramificación. ## Límite Límite Válido para funciones algebraicas sobre cuerpos algebraicamente cerrados de característica cero (y en muchos casos en característica positiva suficientemente grande) y describe solo el comportamiento local cerca de un punto o rama; no proporciona una parametrización global ni se aplica a funciones no algebraicas. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre las series de Puiseux formales (algebraicas, expansiones formales) y las expansiones analíticas convergentes; asimismo, las series de Puiseux pueden confundirse con series de Laurent cuando únicamente los exponentes no enteros las distinguen. ## Síntesis Síntesis La expansión en series de Puiseux consiste en resolver relaciones algebraicas locales pasando a un parámetro ramificado finito de modo que cada rama se escriba como una serie en potencias (posiblemente fraccionarias); esto codifica de forma compacta la ramificación, la multiplicidad y la topología local de las ramas algebraicas.