##  [Teorema de Euler](/es/node/63494) 

 Definición

Una generalización del resultado de Fermat: para n≥1 entero y a con gcd(a,n)=1, a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n), donde φ(n) es la función totiente de Euler que cuenta las unidades módulo n.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

El grupo multiplicativo de unidades módulo n tiene orden φ(n); por el teorema de Lagrange, toda unidad elevada a φ(n) produce la identidad, dando la congruencia a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n).

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Con n=10, φ(10)=4; para a=3 (coprimo con 10), 3^4=81 y 81 ≡ 1 (mod 10), demostrando el teorema en un caso de módulo compuesto.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar la congruencia cuando gcd(a,n)≠1 o asumir que φ(n) es el exponente mínimo para todas las unidades; en muchos casos el exponente verdadero puede ser un divisor propio de φ(n) (fenómenos de la función de Carmichael).

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Permite reducciones de exponentes en aritmética modular para módulos compuestos, sustenta ideas tipo RSA (aritmética de exponentes ligada a φ(n)) y justifica el cálculo de inversos modulares por exponenciación cuando módulo y base son coprimos.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Reemplazar φ(n) por exponentes universales más pequeños (λ(n) de Carmichael) o buscar recíprocas muestra limitaciones: a^{φ(n)} ≡ 1 no implica que n sea primo; el estudio conduce a pruebas de primalidad más fuertes.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere que a sea una unidad módulo n y que n sea un entero positivo; no se aplica directamente a residuos no unidades ni a módulos con estructura algebraica adicional sin modificaciones.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre la declaración general de Euler y exponentes más precisos como la función de Carmichael; también tensión con algoritmos prácticos que explotan exponentes menores por eficiencia o con estructuras especiales (grupos de unidades cíclicos vs no cíclicos).

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El teorema de Euler abstrae la observación de Fermat al grupo completo de unidades módulo n: el orden finito φ(n) del grupo induce congruencias por potenciación que organizan la aritmética modular e informan la teoría algorítmica de números.