##  [Teorema del Resto](/es/node/63470) 

 Definición

La regla que dice que al dividir un polinomio p(x) por el polinomio lineal (x−r), el resto es igual a p(r); así, la evaluación en r da el resto de esa división.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La división polinómica por un divisor lineal queda capturada por la evaluación: el resto de la división por (x−r) es una constante igual al valor del polinomio en r, de modo que división y evaluación conmutan en este caso especial.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo: p(x) = x^3 − 4x + 1 dividido por x − 2 deja resto p(2) = 8 − 8 + 1 = 1. La división sintética produce la misma constante como resto y simultáneamente el polinomio cociente.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que la misma regla de evaluación vale para divisores de grado superior; usar p(r) como 'el resto' al dividir por un polinomio no lineal es incorrecto porque los restos entonces son polinomios de grado positivo.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona una prueba rápida de raíz (resto cero) y un atajo computacional: para comprobar si r es raíz calcule p(r) en lugar de efectuar la división completa, y posibilita técnicas de división sintética.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Si el resto de dividir p(x) por (x−r) es cero entonces p(r)=0, recuperando el Teorema del factor. El contraste es que los restos no nulos cuantifican el fracaso de r como raíz.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a la división de polinomios sobre cuerpos y dominios íntegros; cuando los coeficientes están en anillos con divisores de cero la evaluación puede no reflejar el comportamiento de la división. El teorema trata solo divisiones por polinomios lineales.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Solapamiento con el Teorema del factor genera tensión: ambos relacionan raíces y división por (x−r) pero el Teorema del resto enfatiza el resto numérico p(r) mientras que el Teorema del factor enfatiza la factorización (resto cero).

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El Teorema del resto vincula evaluación y división: evaluar p en r da exactamente el resto constante de la división por (x−r), proporcionando un criterio eficiente para probar raíces y una vía computacional para obtener el cociente.