##  [Identidad de Bézout](/es/node/63466) 

 Definición

La afirmación de que para cualesquiera enteros a y b no ambos cero existen enteros x e y tales que mcd(a,b) = ax + by; es decir, el máximo común divisor puede expresarse como combinación lineal entera de a y b.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

El máximo común divisor de dos enteros genera el ideal que abarcan en Z; el algoritmo de Euclides produce los coeficientes que realizan el mcd como combinación lineal y organiza la solvencia de ecuaciones diofánticas lineales relacionadas.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo concreto: para a = 30 y b = 21, mcd(30,21) = 3 y se hallan enteros x = -2, y = 3 con 3 = (-2)·30 + 3·21. Los coeficientes aparecen al retroceder en el algoritmo de Euclides.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que la representación es única — los coeficientes x,y no son únicos; presumir que la identidad vale en anillos que no son dominios de ideales principales sin comprobar que el ideal (a,b) es principal.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona un método directo para decidir coprimalidad (mcd = 1 iff existen x,y con ax+by=1), resuelve ecuaciones diofánticas lineales ax+by=c cuando el mcd divide c, y da algoritmos para inversos modulares.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Si existen enteros x,y con ax+by = d entonces d es un divisor común de a y b; cuando ax+by = 1, a y b son coprimos. El contraste muestra cómo la existencia de tal combinación caracteriza propiedades del mcd.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Formulada clásicamente para enteros; se extiende a dominios de ideales principales pero falla en anillos donde los ideales no son necesariamente principales. Presupone la teoría clásica del mcd y coeficientes enteros.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre la noción numérica de 'máximo' divisor común y la visión ideal‑teórica (generador del ideal (a,b)): la identidad de Bézout une estas perspectivas, que en dominios no‑PID divergen.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La identidad de Bézout une las perspectivas algorítmica y estructural: el algoritmo de Euclides proporciona coeficientes explícitos que expresan el mcd como combinación lineal, caracterizando la coprimalidad y ofreciendo soluciones constructivas a problemas diofánticos lineales.