## [Lema de Euclides](/es/node/63464) Definición La afirmación de la teoría elemental de números que dice que si un primo p divide el producto ab de dos enteros a y b, entonces p divide a o p divide b. ## Principio Principio Los primos son indecomponibles respecto a la divisibilidad: un divisor primo de un producto debe ya dividir a al menos uno de los factores, principio que organiza muchos argumentos sobre divisibilidad y factorización. ## Demostración Demostración Ejemplo: p = 3 y 3 divide 9·4 = 36; como 3 divide 9, el lema se verifica. Estructuralmente, si p divide ab y p no divide a, entonces mcd(a,p)=1 y existen enteros x,y con ax+py=1; multiplicando por b se deduce que p divide b. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicarlo tomando p compuesto: para un entero compuesto c que divide ab no es cierto en general que c divida a o b; usar el lema en anillos sin la noción adecuada de primo o mcd sin comprobar hipótesis. ## Consecuencia Consecuencia Constituye un paso clave para demostrar la unicidad de la factorización en los enteros y permite pasar de la divisibilidad de un producto a la divisibilidad de un factor, facilitando demostraciones inductivas basadas en primos. ## Inversión Inversión La conversión trivial es que si p divide a entonces p divide ab; el contraste significativo es que reemplazar 'primo' por 'compuesto' invalida la afirmación, produciendo contraejemplos. ## Límite Límite Se aplica a elementos primos en dominios íntegros con una noción apropiada de primalidad; se enuncia más sencillamente para primos enteros en Z. No se cumple automáticamente en anillos donde los irreducibles no son primos. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre 'primo' e 'irreducible': en algunos anillos los irreducibles no satisfacen el lema, lo que distingue elementos primos (que imponen divisibilidad en factores) de meros irreducibles. ## Síntesis Síntesis El lema de Euclides captura la propiedad esencial de los elementos primos: cuando un primo divide un producto, esa divisibilidad se localiza en un factor, mecanismo central para la unicidad de la factorización y para transferir información de producto a factores.