## [Ley de Cancelación por la Izquierda](/es/node/63451) Definición Una propiedad de una operación binaria en una estructura algebraica que dice: para un elemento fijo a, si a · x = a · y entonces x = y; cuando esto se cumple para todo a en un subconjunto dado, se dice que existe cancelación por la izquierda. ## Principio Principio La multiplicación a la izquierda por un elemento cancelativo es inyectiva: la aplicación x ↦ a · x preserva la distinción, por lo que la igualdad tras la multiplicación a la izquierda implica la igualdad previa cuando existe cancelación por la izquierda. ## Demostración Demostración En un grupo (G, ·) todo elemento es cancelativo: si a·x = a·y entonces multiplicando a la izquierda por a^{-1} se obtiene x = y. En los enteros positivos con la suma, la cancelación por la izquierda también vale porque a + x = a + y implica x = y. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir cancelación por la izquierda en estructuras donde falla, como semigrupos con divisores de cero o monoides con idempotentes donde a·x = a·y no obliga a x = y; también confundir cancelación izquierda con derecha sin comprobar el lado. ## Consecuencia Consecuencia Cuando existe cancelación por la izquierda, se pueden simplificar ecuaciones quitando un factor común por la izquierda, lo que facilita resolver ecuaciones, probar unicidad y razonar sobre acciones inyectivas a la izquierda. ## Inversión Inversión La inversión es la no cancelación por la izquierda: tener a·x = a·y con x ≠ y, lo que indica divisores de cero, identificaciones o pérdida de inyectividad en la multiplicación izquierda y complica la resolución de ecuaciones. ## Límite Límite Se aplica a operaciones binarias donde la multiplicación por la izquierda tiene sentido; no es válida en general en semigrupos, anillos con divisores de cero o semigrupos con cero a la izquierda salvo que se impongan axiomas adicionales de cancelación. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre el comportamiento cancelativo local (para un elemento concreto a) y la cancelatividad global (para todos los elementos no nulos o para todos los elementos); otra tensión entre la cancelación como axioma y la cancelación derivada de la invertibilidad. ## Síntesis Síntesis La Ley de Cancelación por la Izquierda expresa que la multiplicación a la izquierda por ciertos elementos es inyectiva; donde existe, permite eliminar factores comunes a la izquierda para deducir la igualdad de los factores restantes y facilita el razonamiento algebraico.