##  [Leyes de de Morgan](/es/node/63447) 

 Definición

Dos reglas algebraicas que describen cómo la complementación (negación lógica o complemento de conjunto) se distribuye sobre las operaciones binarias unión e intersección (u OR y AND): el complemento de una unión es la intersección de los complementos, y el complemento de una intersección es la unión de los complementos.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La negación o complementación invierte la operación binaria: ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y y ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y; ese intercambio estructural se aplica en álgebras booleanas y en lógica proposicional entre OR y AND bajo negación.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

En teoría de conjuntos, con A = {1,2} y B = {2,3} en universo U = {1,2,3,4} se tiene (A ∪ B)^c = {4} y A^c ∩ B^c = {4}. En lógica proposicional, ¬(P ∨ Q) es equivalente a (¬P ∧ ¬Q); una tabla de verdad muestra la coincidencia de valores.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar las leyes cuando no existe un complemento bien definido (por ejemplo, en estructuras sin complemento), olvidar intercambiar las operaciones (afirmar ¬(x ∨ y) = ¬x ∨ ¬y) o tratar implicación y cuantificadores igual sin convertir a formas adecuadas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Permiten reescrituras sistemáticas de complementos que simplifican demostraciones, diseño de circuitos o manipulaciones algebraicas; sustentan conversiones a formas normales y la minimización en álgebra booleana.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La inversión sería distribuir el complemento sin cambiar la operación binaria (p.ej., sostener que complemento(A ∪ B) = complemento(A) ∪ complemento(B)); esa inversión rompe la equivalencia y produce expresiones incorrectas.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Válidas en álgebras booleanas, álgebras de subconjuntos y lógica proposicional clásica; pueden fallar o requerir modificación en lógicas no clásicas (intuicionista, paraconsistente) y en estructuras algebraicas sin complemento o con negaciones no clásicas (difusas, multivaluadas).

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre ver las leyes como reglas sintácticas de reescritura y como equivalencias semánticas sobre condiciones de verdad; también tensión entre la negación clásica, donde las leyes son exactas, y negaciones debilitadas que alteran una o ambas direcciones.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Las leyes de Morgan conectan complementación y operaciones binarias al afirmar que la complementación transforma unión en intersección y viceversa; son equivalencias algebraicas elementales con aplicaciones amplias en conjuntos, álgebra booleana y lógica proposicional para reescribir y simplificar expresiones.