## [Número de Bass](/es/node/63441) Definición Un invariante que registra multiplicidades de copias de envolventes inyectivas indecomponibles (típicamente E(R/p) para ideales primos p) que aparecen en cada grado de una resolución inyectiva mínima de un módulo; frecuentemente se indexan por primo y grado. ## Principio Principio Los números de Bass se organizan por resoluciones inyectivas mínimas y descomposiciones tipo Matlis: el número μ^{i}(p,M) cuenta la multiplicidad de la envolvente inyectiva de R/p que aparece en el grado i de la resolución inyectiva mínima de M, constituyendo medidas locales y grado a grado de la complejidad inyectiva. ## Demostración Demostración Para un anillo noetheriano local (R,m) y un módulo finitamente generado M se construye una resolución inyectiva mínima y se leen las multiplicidades de E(R/m) en cada grado para obtener los números de Bass μ^{i}(m,M). En anillos locales gorenstein muchos números de Bass se anulan salvo en grados previsibles, mostrando restricciones estructurales. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir números de Bass con números de Betti (conteos proyectivos vs inyectivos), o intentar extraer información sobre el rango sin torsión a partir de números de Bass; otro uso indebido es aplicar el conteo Bass sin exigir minimalidad, lo que altera las multiplicidades. ## Consecuencia Consecuencia Los números de Bass proporcionan información local fina sobre la estructura inyectiva, detectan el comportamiento de la dimensión inyectiva y ciertos fenómenos de dualidad, y son invariantes clave en problemas de clasificación de módulos y anillos locales. ## Inversión Inversión La noción dual son los números de Betti: mientras los Bass miden multiplicidades de sumandos inyectivos en resoluciones inyectivas, los Betti miden multiplicidades de sumandos libres/proyectivos en resoluciones proyectivas; comparar ambos ofrece perspectivas duales sobre la complejidad de un módulo. ## Límite Límite Definidos primordialmente para módulos sobre anillos noetherianos donde existen resoluciones inyectivas mínimas y descomposiciones en inyectivos indecomponibles; fuera de las hipótesis noetherianas o sin unicidad de resoluciones mínimas los recuentos Bass pueden no estar disponibles o bien definidos. ## Tensión semántica Tensión semántica Los números de Bass suelen entrar en tensión conceptual con los números de Betti y con invariantes de profundidad/anchura: enfatizan datos de descomposición inyectiva más que datos de resolución libre, provocando tensión cuando ambas familias de invariantes se usan para clasificar singularidades o tipos de módulos. ## Síntesis Síntesis Los números de Bass son multiplicidades, grado a grado e indexadas por primos, de envolventes inyectivas indecomponibles que aparecen en una resolución inyectiva mínima de un módulo; condensan la complejidad inyectiva local y constituyen el complemento dual de los números de Betti en la clasificación homológica.