## [Número de Betti](/es/node/63439) Definición Un invariante numérica igual al rango (dimensión sobre un cuerpo) de un grupo de homología o cohomología en un grado dado, o equivalentemente el rango de un módulo libre que aparece en una resolución mínima; cuenta ciclos o relaciones independientes en ese grado. ## Principio Principio Los números de Betti se organizan por la homología: el i‑ésimo número de Betti es la dimensión de H_i(–;k) sobre un cuerpo elegido k (o el rango de la parte libre sobre Z), y se comporta aditivamente ante sumas directas y mediante sucesiones exactas largas en homología. ## Demostración Demostración Para un toro T^2, H_0, H_1, H_2 con coeficientes en un cuerpo k tienen dimensiones 1, 2, 1 respectivamente, así que b_0=1, b_1=2, b_2=1. En álgebra, los números de Betti graduados de un módulo sobre un anillo de polinomios registran los rangos de sumandos libres en cada grado de una resolución libre mínima graduada. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar números de Betti calculados con coeficientes enteros como si detectaran torsión (registran solo los rangos de la parte libre), o tratar los números de Betti como sensibles a cambios menores del modelo sin fijar la homotopía o los coeficientes. ## Consecuencia Consecuencia Los números de Betti proporcionan medidas toscas pero calculables de la topología y la estructura algebraica: determinan la característica de Euler por sumas alternadas, detectan la presencia de ciclos no triviales y se incorporan en invariantes como polinomios de Poincaré. ## Inversión Inversión La medición complementaria son invariantes que detectan torsión (p. ej. subgrupos de torsión o invariantes basados en Ext) en lugar del rango libre; invertir el foco reemplaza el conteo de rangos por fenómenos de orden finito. ## Límite Límite Depende del anillo de coeficientes: sobre un cuerpo los números de Betti son dimensiones de espacios vectoriales y se comportan bien; sobre Z hay que separar el rango (Betti) de la torsión. Para resoluciones mínimas normalmente se requieren hipótesis locales o graduadas para garantizar la unicidad de los rangos. ## Tensión semántica Tensión semántica Los números de Betti suelen contrastarse con los números de Bass: los Betti cuentan sumandos proyectivos/libres en resoluciones, mientras que los Bass cuentan sumandos inyectivos. La tensión es entre información sobre el rango libre y sobre la torsión/inyectividad. ## Síntesis Síntesis Un número de Betti es la dimensión de un grupo de homología/cohomología en un grado fijo (o el rango de sumandos libres en una resolución mínima); cuantifica ciclos o generadores independientes en ese grado y constituye un resumen numérico básico de la complejidad topológica o algebraica.