## [Dimensión Global](/es/node/63437) Definición El supremo de las dimensiones proyectivas de todos los objetos en una categoría (o de todos los módulos sobre un anillo), posiblemente infinito; cuantifica la complejidad homológica máxima presente en la estructura ambiente. ## Principio Principio La dimensión global se organiza tomando supremos de dimensiones proyectivas individuales: la categoría tiene dimensión global ≤ n si y solo si todo objeto tiene dimensión proyectiva ≤ n, es decir, todos los Ext^{i}(-,-) se anulan para i>n entre objetos cualesquiera. ## Demostración Demostración Para un anillo R se calcula proj.dim(M) para cada R‑módulo izquierdo M y se toma el supremo. Ejemplos: un campo tiene dimensión global 0, un dominio principal tiene dimensión global 1, y un anillo de polinomios en n variables sobre un campo tiene dimensión global n (en el caso noetheriano regular clásico). ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar la dimensión global calculada por un lado (izquierda) como si automáticamente fuese igual por el otro lado (derecha) en contextos no conmutativos; o inferir finitud de la dimensión global a partir de finitud en una familia restringida de módulos sin comprobar el supremo. ## Consecuencia Consecuencia La finitud de la dimensión global implica cotas uniformes en las longitudes de resoluciones proyectivas, teoremas de anulación fuertes para Ext y Tor y muchas propiedades de finitud y regularidad homológica para el anillo o la categoría. ## Inversión Inversión La perspectiva inversa es examinar dimensiones proyectivas locales o por objeto en lugar de su supremo; invertir la vista global se centra en la complejidad de módulos concretos en lugar del máximo ambiente. ## Límite Límite Se define para categorías abelianas de módulos y marcos homológicos similares; aparecen distinciones entre dimensión global izquierda, derecha y dimensión global débil. En contextos no noetherianos o no abelianos el supremo puede comportarse mal y requerir refinamientos derivados. ## Tensión semántica Tensión semántica La dimensión global compite conceptualmente con nociones homológicas como la dimensión de Krull, la regularidad y la dimensión global débil; la tensión radica entre la complejidad proyectiva máxima y otras medidas de tamaño o singularidad. ## Síntesis Síntesis La dimensión global es el supremo de las dimensiones proyectivas en la categoría: un invariante homológico único que encapsula la longitud máxima de resoluciones proyectivas y fija umbrales de anulación para funtores derivados cuando es finita.