## [Dimensión Inyectiva](/es/node/63435) Definición El menor entero n≥0 (o infinito) tal que un objeto admite una resolución inyectiva de longitud n; equivalentemente, la longitud mínima de una cadena de objetos inyectivos que resuelve el objeto, midiendo su distancia a ser inyectivo. ## Principio Principio La dimensión inyectiva se organiza por la existencia de resoluciones inyectivas: un objeto tiene dimensión inyectiva ≤ n exactamente cuando Ext^{i}(-, objeto) se anula para todo i>n frente a todos los objetos de prueba; la anulación de Ext en grados altos controla la noción. ## Demostración Demostración Para un módulo M sobre un anillo noetheriano R se construye una resolución inyectiva 0→M→I^0→I^1→…; si esta secuencia acaba en I^n (I^i=0 para i>n), entonces dim_iny(M)=n. Por ejemplo, sobre un cuerpo k, todo espacio vectorial de dimensión finita es inyectivo, así que su dimensión inyectiva es 0. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar la dimensión inyectiva como la longitud de una resolución proyectiva o sustituir resoluciones inyectivas por proyectivas sin dualizar; o asumir la finitud de la dimensión inyectiva a partir de la finitud de la dimensión proyectiva sin comprobar dualidades de la categoría. ## Consecuencia Consecuencia Una dimensión inyectiva finita implica patrones de anulación concretos para Ext, simplifica cálculos de funtores derivados y suele relacionarse con la profundidad y la regularidad del anillo o de la categoría ambiente. ## Inversión Inversión La noción dual es la dimensión proyectiva: mientras la dimensión inyectiva mide el alejamiento de la inyectividad, la dimensión proyectiva mide el alejamiento de la proyectividad; invertir las flechas intercambia las resoluciones y los grupos Ext/Tor que controlan la invariante. ## Límite Límite Se define en categorías abelianas con suficientes inyectivos o en contextos derivados; las resoluciones inyectivas mínimas requieren hipótesis (p. ej. noetherianas) para existir y ser únicas a isomorfismo. Sin inyectivos o reemplazos derivados la noción carece de sentido práctico. ## Tensión semántica Tensión semántica La dimensión inyectiva suele confundirse con la dimensión proyectiva o con la profundidad homológica; la tensión está entre resoluciones duales (inyectiva vs proyectiva) y entre la anulación de Ext y la de Tor. ## Síntesis Síntesis La dimensión inyectiva es la longitud mínima de una resolución inyectiva de un objeto; detectada por la anulación de Ext en grados altos, constituye una medida homológica dual a la dimensión proyectiva cuando hay resoluciones inyectivas disponibles.