## [Multiplicidad de Hilbert–Samuel](/es/node/63431) Definición Un invariante numérica e(I,M) definida para un ideal m-primario I en un anillo local noetheriano (A,m) y un módulo A finitamente generado M que mide el término principal del crecimiento de la longitud de M/I^nM como polinomio en n para n grandes; equivalente al coeficiente dominante normalizado del polinomio de Hilbert–Samuel. ## Principio Principio Principio de longitud asintótica: las longitudes de los cocientes por potencias crecientes de un ideal m-primario coinciden eventualmente con un polinomio cuyo coeficiente principal, tras normalizar por factoriales, es la multiplicidad; esto captura el tamaño local y la intensidad de la singularidad en el punto cerrado. ## Demostración Demostración En un anillo local regular de dimensión d, la multiplicidad de Hilbert–Samuel del ideal maximal es 1; para una singularidad por hipersuperficie la multiplicidad es mayor que 1, reflejando mayor complejidad singular. El cálculo suele utilizar reducciones a ideales de parámetros o filtraciones para obtener el polinomio de Hilbert–Samuel. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar la multiplicidad de Hilbert–Samuel para ideales que no son m-primarios o interpretar la multiplicidad como una medida completa del tipo de singularidad: la multiplicidad distingue severidad pero no determina invariantes más finos como el número de Milnor o componentes embebidos. ## Consecuencia Consecuencia La multiplicidad cuantifica el tamaño algebraico local: aparece en teoría de intersecciones como números de intersección, controla estratificaciones de equisingularidad y proporciona criterios numéricos para regularidad (por ejemplo, multiplicidad uno implica regularidad en el contexto Cohen–Macaulay). ## Inversión Inversión Considerar secuencias de longitudes para filtraciones no primarias o estudiar multiplicidades hilbertianas graduadas desplaza el foco del crecimiento m-ádico local al crecimiento graduado/global; la perspectiva invertida pone de manifiesto otros invariantes y convenciones de normalización. ## Límite Límite Definida para anillos locales noetherianos respecto a ideales m-primarios o filtraciones apropiadas; no tiene significado directo para ideales no primarios en general o en contextos sin noción de longitud o colongitud finita. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión con la multiplicidad del polinomio de Hilbert y la multiplicidad de intersección porque construcciones similares del coeficiente dominante existen en entornos graduados y locales pero difieren en normalización e interpretación geométrica; la multiplicidad compite con otras medidas de singularidad. ## Síntesis Síntesis La multiplicidad de Hilbert–Samuel es el coeficiente dominante normalizado del polinomio que gobierna el crecimiento asintótico de las colongitudes de las potencias de un ideal m-primario; convierte el crecimiento local de longitudes en un número que evalúa el tamaño algebraico y la severidad de la singularidad.