## [Profundidad](/es/node/63421) Definición Un invariante de un módulo (o anillo local) dada por la longitud de una secuencia regular máxima contenida en un ideal dado o la longitud máxima de secuencias de no divisores de cero; mide la no degeneración de las relaciones. ## Principio Principio La profundidad cuenta cuántos elementos sucesivos actúan como no divisores de cero sobre un módulo; una secuencia regular de longitud d indica que el módulo resiste ciertas degeneraciones hasta d pasos. ## Demostración Demostración Para un anillo local noetheriano R y un módulo M finitamente generado, si existe una secuencia x1,...,xr de elementos del ideal maximal que son no divisores de cero en los cocientes sucesivos, entonces depth(M) ≥ r, y hay igualdad cuando la secuencia es máxima. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Interpretar profundidad como codimensión o dimensión de Krull sin matices es erróneo; profundidad y dimensión están relacionadas por desigualdades pero son invariantes distintos que pueden diferir notablemente en casos patológicos. ## Consecuencia Consecuencia La profundidad controla propiedades homológicas: aparece en la fórmula de Auslander–Buchsbaum y determina la condición de Cohen–Macaulay cuando la profundidad iguala la dimensión de Krull, implicando anulaciones favorables de cohomología local. ## Inversión Inversión Invertir la noción implica centrarse en la presencia de divisores de cero: en lugar de contar no divisores de cero, se mediría cuán pronto aparecen divisores de cero, proporcionando información complementaria sobre obstrucciones. ## Límite Límite Definida principalmente para módulos sobre anillos conmutativos noetherianos y anillos locales; en contextos no noetherianos o no conmutativos la profundidad puede ser indefinida o requerir definiciones modificadas. ## Tensión semántica Tensión semántica La profundidad compite con la dimensión y la dimensión proyectiva: mientras la dimensión mide el tamaño de cadenas de primos, la profundidad mide la resistencia a divisores de cero; su interacción es central y a veces paradójica. ## Síntesis Síntesis La profundidad es la medida homológica de cuántos pasos de no divisores de cero admite un módulo; combinada con la dimensión de Krull indica propiedades de regularidad y clasifica módulos como los Cohen–Macaulay.