## [Multiplicidad](/es/node/63416) Definición La multiplicidad es el recuento entero que describe cuántas veces ocurre una raíz, un valor propio o una intersección: la multiplicidad algebraica (de una raíz) es el exponente del factor (x−α)^m en un polinomio, y la multiplicidad algebraica de un valor propio es su multiplicidad como raíz del polinomio característico; la multiplicidad geométrica cuenta vectores propios independientes. ## Principio Principio La multiplicidad refleja estructura repetida y controla el comportamiento local: una mayor multiplicidad corresponde a la anulación de derivadas hasta el orden m−1, afecta la diagonalizabilidad (multiplicidad algebraica vs geométrica) e interviene en la teoría de intersecciones como multiplicidad de intersección. ## Demostración Demostración Polinomio: (x−1)^3 tiene 1 como raíz de multiplicidad 3; matriz: un bloque de Jordan de tamaño 3 para el valor propio λ aporta multiplicidad algebraica 3 pero multiplicidad geométrica 1, produciendo un operador no diagonalizable. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que la multiplicidad algebraica equivale a la multiplicidad geométrica o que la multiplicidad es irrelevante para la sensibilidad: por ejemplo, tratar una raíz triple como tres raíces simples cercanas bajo una perturbación sin comprobar la estabilidad o la separabilidad. ## Consecuencia Consecuencia Un recuento correcto de multiplicidades informa algoritmos de factorización, la estabilidad de métodos de búsqueda de raíces, la descomposición espectral y el conteo de intersecciones; la multiplicidad influye en el comportamiento de métodos iterativos y en la sensibilidad a perturbaciones. ## Inversión Inversión El reverso es el caso de raíz simple (multiplicidad 1) o intersección transversal, que representa comportamiento genérico y estable; pasar de alta multiplicidad a raíces simples suele ser un proceso de desingularización. ## Límite Límite Las nociones de multiplicidad varían según el contexto: multiplicidad algebraica, multiplicidad geométrica y multiplicidad de intersección son distintas y no deben confundirse; en característica positiva o en esquemas no reducidos la multiplicidad interactúa de forma sutil con la separabilidad y la estructura del esquema. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica: coinciden sólo en circunstancias especiales; de igual modo, multiplicidad versus orden o grado puede confundirse si la categoría ambiente (polinomio, esquema, analítico) no está especificada. ## Síntesis Síntesis La multiplicidad es la medida entera de la repetición de fenómenos algebraicos —raíces, valores propios, intersecciones— con variantes algebraicas y geométricas que gobiernan la estabilidad, la diagonalizabilidad y la estructura singular local y que deben interpretarse en su contexto.