## [Grado](/es/node/63415) Definición El grado es una medida entera de tamaño o complejidad: para un polinomio es el mayor exponente con coeficiente no nulo; para una extensión de campos es la dimensión como espacio vectorial de la extensión sobre la base; para un morfismo de variedades es el número genérico de preimágenes, y aparecen significados análogos en otros contextos algebraicos. ## Principio Principio El grado cuantifica crecimiento multiplicativo o composicional y obedece reglas algebraicas: el grado polinómico se suma al multiplicar y, en ciertos casos, se compone de forma multiplicativa; los grados de extensión se multiplican en torres [si son finitos]. ## Demostración Demostración Ejemplo polinómico: f(x)=x^3+2x tiene grado 3. Ejemplo de extensión: [Q(√2):Q]=2. Ejemplo de morfismo: una aplicación no constante P1→P1 dada por una función racional de grado d tiene genéricamente d preimágenes de un punto. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar el grado como una noción estable en casos degenerados: p. ej., el polinomio cero no tiene el grado habitual, las aplicaciones racionales pueden tener indeterminaciones que reducen recuentos ingenuos, y los órdenes analíticos difieren del grado algebraico. ## Consecuencia Consecuencia El grado controla el crecimiento asintótico, determina el comportamiento del término dominante, acota el número de soluciones mediante enunciados tipo Bézout y constriñe propiedades de Galois y aritméticas en extensiones y ecuaciones. ## Inversión Inversión La perspectiva inversa estudia representantes de grado mínimo o reducciones: invertir la noción aísla las formas más simples (p. ej., el polinomio minimal) en lugar de los exponentes máximos, enfatizando la concisión sobre el tamaño. ## Límite Límite El grado depende del contexto: los grados de polinomios, extensiones, morfismos y formas están relacionados pero son distintos; las extensiones infinitas o trascendentes no tienen grado finito, y los objetos analíticos o formales requieren conceptos distintos de 'orden'. ## Tensión semántica Tensión semántica Hay tensión entre grado y nociones afines como orden, multiplicidad o dimensión: el grado mide la potencia dominante, la multiplicidad la repetición y la dimensión el tamaño del espacio vectorial; confundirlos conduce a errores. ## Síntesis Síntesis El grado es la medida entera del tamaño algebraico propia de la clase de objeto —exponente máximo, dimensión del espacio vectorial o número genérico de fibras— y rige el crecimiento, el número de soluciones y el comportamiento por composición en su dominio.