##  [Norma de Frobenius](/es/node/63410) 

 Definición

La norma Frobenius de una matriz es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de todas sus entradas; equivalentemente es la norma l2 del vector de valores singulares y equivale a sqrt(trace(A^*A)).

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La norma Frobenius mide la energía total por entradas de una matriz, es invariante unitariamente (no cambia al pre- o postmultiplicar por matrices unitarias/ortogonales) y proviene del producto interior de Hilbert–Schmidt ⟨A,B⟩ = trace(B^*A).

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para A = [[1,2],[3,4]] la norma Frobenius es sqrt(1^2+2^2+3^2+4^2)=sqrt(30). El error en norma Frobenius de una aproximación de rango k es una medida natural cuando se minimiza el error cuadrático por entrada (p. ej. la SVD truncada minimiza el error Frobenius entre matrices de rango k).

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar la norma Frobenius para acotar la amplificación peor caso de un vector por A (tarea de una norma operador). Puesto que ||A||_2 ≤ ||A||_F pero la desigualdad contraria no es ajustada en general, las cotas basadas en Frobenius pueden estimar mal el comportamiento operador si no se ajustan por el rango.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

La norma Frobenius proporciona una medida de energía total conveniente y fácil de computar, útil para análisis de error por entrada, esbozos aleatorios y objetivos de optimización; es numéricamente estable y acumula contribuciones de todos los valores singulares.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Reemplazar la norma Frobenius por la norma espectral cuando la intención es medir energía agregada: la elección invertida se centra en la amplificación extrema de un vector (mayor valor singular) más que en la energía total y cambia los objetivos de optimización.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Definida para matrices finitas y operadores de Hilbert–Schmidt; en entornos de dimensión infinita la norma Frobenius/Hilbert–Schmidt solo es finita para operadores de suma de cuadrados finita. No es una norma inducida/operador para la amplificación de vectores, por lo que excluye cotas peor caso sin ajustes basados en el rango.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Existe tensión entre normas Frobenius y espectral: Frobenius controla la magnitud cuadrática agregada, la espectral controla la acción extrema. La elección depende de si importa la energía total o el comportamiento extremo en la aplicación.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La norma Frobenius es la energía l2 por entradas de una matriz — igual a la norma l2 de sus valores singulares y sqrt(trace(A^*A)) — y ofrece una medida unitarily invariante y agregada, ideal para errores por entrada y objetivos energéticos.