##  [Norma de Matriz](/es/node/63409) 

 Definición

Función que asigna una magnitud no negativa a una matriz compatible con normas vectoriales y la acotación del mapa lineal asociado; ejemplos comunes son normas inducidas (operador), la norma Frobenius, la norma 1 y la norma infinito.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Las normas matriciales cumplen submultiplicatividad (||AB|| ≤ ||A||·||B||) cuando son compatibles con normas vectoriales, y las normas inducidas se definen por suprema ||A|| = sup_{x≠0} ||Ax||/||x||; la elección de norma determina qué aspecto del «tamaño» importa (amplificación peor caso, energía por entradas, suma de columnas, etc.).

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

La norma espectral (norma 2 inducida) es el mayor valor singular y mide la amplificación peor caso de vectores unitarios. La norma 1 es la suma máxima absoluta por columna y es útil para acotar efectos por columnas. La norma Frobenius es la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de las entradas y equivale a la norma l2 de los valores singulares, útil para medir errores elemento a elemento.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar una norma por entradas como Frobenius cuando el problema requiere una norma inducida/operador para controlar la amplificación peor caso (p. ej. estabilidad de métodos iterativos), o mezclar normas sin convertir coherentemente las medidas de error entre análisis.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Una norma matricial bien elegida proporciona cotas útiles sobre propagación de errores, tasas de convergencia y estabilidad de algoritmos lineales; permite comparar operadores y diseñar precondicionadores o estrategias de normalización acordes con la medida escogida.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Reemplazar una norma completa por una seminorma o un escalar ad hoc que ignora submultiplicatividad o compatibilidad con normas vectoriales; la noción invertida pierde la capacidad de componer cotas y razonar sobre el comportamiento del operador.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Deben especificarse las normas (inducida vs por entradas) y están definidas sobre operadores lineales entre espacios normados; en dimensión infinita se exige acotamiento. No todas las medidas útiles del efecto de una matriz son normas (p. ej. el rango numérico no es una norma).

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Existe tensión entre normas inducidas/operador (que capturan amplificación peor caso sobre vectores) y normas por entradas (que capturan energía agregada); elegir una u otra cambia las propiedades controladas y puede generar intuiciones contradictorias sobre el «tamaño».

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una norma matricial es una norma sobre operadores lineales ligada a una elección de normas vectoriales cuyas propiedades algebraicas (submultiplicatividad, sentido inducido) determinan qué aspectos del tamaño del operador—amplificación peor caso, energía o magnitud por entradas—se están midiendo.