##  [Número de Condición](/es/node/63407) 

 Definición

Medida numérica de cuán sensible es la salida de una función o la solución de un sistema lineal ante pequeñas perturbaciones relativas de la entrada; para matrices invertibles y una norma dada suele definirse como ||A||·||A^{-1}||, y en la norma espectral es la razón entre el mayor y el menor valor singular.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

El número de condición cuantifica la amplificación relativa en el peor caso de un error de entrada hacia el error de salida para el problema y la norma especificados; separa el condicionamiento intrínseco del problema de la estabilidad del algoritmo y depende tanto del operador como de la elección de norma.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para la matriz diagonal 2×2 diag(100,1) en norma espectral el número de condición es 100/1=100, lo que indica que una perturbación relativa del 1% en la entrada puede producir hasta ~100% de cambio relativo en la solución. Para una matriz singular el número de condición es infinito, señalando que no existe una inversa estable.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

No especificar la norma al citar un número de condición o confundir un número alto con fallo algorítmico sin considerar el método. Usar el número de condición en norma 2 para predecir errores de un algoritmo cuya estabilidad está gobernada por otra norma induce errores de juicio.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Un número de condición grande indica mal condicionamiento: las soluciones son muy sensibles y requieren regularización, mayor precisión o reformulación; un número cercano a 1 indica buen condicionamiento y que los errores se preservan en proporción.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Interpretar un número de condición bajo como garantía de que el resultado computado será preciso sin tener en cuenta el algoritmo; la inversión es que un buen condicionamiento no sustituye el uso de algoritmos numéricamente estables.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se define respecto a una norma y un problema concreto (inversión matricial, resolución lineal). Para problemas no lineales se usa un número de condición local a partir del jacobiano; para operadores no invertibles el número clásico es infinito y debe sustituirse por medidas condicionadas en subespacios o variantes regularizadas.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Hay tensión entre el condicionamiento del problema (sensibilidad intrínseca medida por el número de condición) y la estabilidad numérica (amplificación de errores por el algoritmo): un problema bien condicionado puede resolverse mal y un problema mal condicionado puede abordarse con regularización o algoritmos estabilizados.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El número de condición es un escalar dependiente de la norma que mide la amplificación relativa en el peor caso de perturbaciones de entrada por un problema; para matrices es ||A||·||A^{-1}|| y, en la norma espectral, la razón entre valores singulares extremos, orientando sobre sensibilidad y necesidad de estabilización.