## [Vector Propio](/es/node/63403) Definición Un vector no nulo v tal que Av = λv para algún escalar λ (el valor propio correspondiente); los vectores propios generan los espacios propios y se definen salvo multiplicación por escalares no nulos. ## Principio Principio Los vectores propios son los portadores concretos de direcciones invariantes: el espacio propio para λ es ker(A−λI), un subespacio lineal cuya dimensión es la multiplicidad geométrica de λ; forman una base cuando el operador es diagonalizable. ## Demostración Demostración Para diag(5,3,3) en R^3, cualquier múltiplo no nulo de e1=(1,0,0) es un vector propio del valor propio 5; el espacio propio para el valor 3 es el generado por e2 y e3 (de dimensión dos) que contiene infinitos vectores propios. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar al vector cero como vector propio o suponer que los vectores propios asociados a un mismo valor propio son únicos son errores comunes; también es falso asumir que vectores propios de valores propios distintos son siempre ortogonales salvo en operadores con estructura especial (por ejemplo, normales). ## Consecuencia Consecuencia Un conjunto completo de vectores propios linealmente independientes permite la diagonalización y simplifica cálculos (potencias, exponenciales) y análisis modal; información parcial sobre vectores propios da subespacios invariantes usados en reducción y teoría de perturbaciones. ## Inversión Inversión Surgen vectores propios generalizados cuando (A−λI) no es diagonalizable: satisfacen (A−λI)^k v = 0 para algún k>1 y extienden vectores propios a cadenas que capturan la acción nilpotente, en contraste con vectores propios ordinarios que verifican k=1. ## Límite Límite Los vectores propios se definen respecto de un valor propio concreto; el vector cero está excluido. Sobre cuerpos no algebraicamente cerrados algunos vectores propios pueden existir sólo tras extender escalares. Las aproximaciones numéricas pueden producir cuasi-vectores propios que no son exactamente invariantes. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre vectores propios y vectores singulares: los vectores singulares pertenecen a A*A y a la amplificación óptima en norma, mientras que los vectores propios se refieren a direcciones invariantes de A; confundirlos mezcla informaciones geométricas distintas. ## Síntesis Síntesis Un vector propio es un vector no nulo que un operador lineal simplemente escala; las colecciones de vectores propios forman espacios propios que son los bloques invariantes básicos para descomponer y entender operadores lineales.