##  [Traza](/es/node/63398) 

 Definición

Para una matriz cuadrada o endomorfismo, la traza es la suma de las entradas diagonales en cualquier representación matricial; equivalentemente la suma de los autovalores contados con multiplicidad algebraica y es invariante por semejanza.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La linealidad y la cyclicidad son centrales: tr(A+B)=tr(A)+tr(B), tr(cA)=c·tr(A) y tr(AB)=tr(BA) para matrices de tamaños compatibles; el coeficiente de λ^{n−1} en el polinomio característico es −tr(A).

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo: A = [[1,2],[3,4]] tiene traza 1+4=5. Sus autovalores suman 5, y para cualquier S invertible tr(S^{-1}AS)=tr(A), por lo que la traza es invariante por conjugación.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar traza=0 para concluir nilpotencia o singularidad: una traza nula no implica que una matriz sea nilpotente o no invertible (la traza solo da información sobre la suma espectral), ni deducir autovalores individuales a partir de la traza.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

La traza proporciona un invariante simple y computable que controla coeficientes del polinomio característico, aparece en la linealización del determinante y sirve como carácter en teoría de representaciones; es aditiva en sumas directas y estable por conjugación.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

En lugar de resumir una matriz por su traza (un escalar), analizar el espectro completo o la forma de Jordan para recuperar la estructura espectral detallada perdida por la suma.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Definida para matrices cuadradas sobre cuerpos y para operadores de clase traza en dimensiones infinitas; para operadores generales en dimensiones infinitas la traza puede ser indefinida y depender de la elección de base o de la topología.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre traza y determinante: la traza agrega autovalores aditivamente mientras que el determinante los multiplica; tensión también entre la definición aparente dependiente de la base (suma diagonal) y el hecho de que la traza es invariante por semejanza.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La traza es el escalar invariante por semejanza que da la suma de las entradas diagonales o, equivalentemente, la suma de los autovalores; su linealidad y cyclicidad gobiernan sus usos algebraicos y límites.