##  [Codimensión de la Imagen](/es/node/63396) 

 Definición

La codimensión de la imagen (rango) de una aplicación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita; equivalentemente la dimensión del codominio menos el rango de la aplicación, midiendo cuánto le falta para ser sobreyectiva.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Corango = dim W − rango(T) para T: V → W. En contextos de dualidad finita, el corango coincide con la nulidad de la transpuesta (o adjunta) en el espacio dual.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo: T: R^5 → R^7 con rango 4 tiene corango 7−4=3; tres direcciones del objetivo no son alcanzadas por T, de modo que la imagen es un subespacio de R^7 de dimensión 4 y codimensión 3.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar corango como sinónimo de nulidad (dimensión del núcleo) de la misma aplicación, o aplicar la fórmula de dimensión finita en contextos de dimensión infinita sin considerar el cierre de la imagen o los duales continuos.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Conocer el corango cuantifica la obstrucción a la sobreyectividad: corango=0 si y solo si T es sobreyectiva. Orienta la construcción de inversas por la derecha y controla las condiciones de solvabilidad de ecuaciones lineales no homogéneas.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Invertir la perspectiva hacia el rango: en lugar de contar dimensiones objetivo no alcanzadas, contar las alcanzadas. Alternativamente, considerar la nulidad para medir el fallo de inyectividad en lugar del de sobreyectividad.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se define para aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita; en contextos de dimensión infinita el corango puede ser infinito o depender del cierre topológico de la imagen y de los espacios duales; para aplicaciones no lineales se requieren invariantes distintos.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre corango y nulidad: ambos miden una 'deficiencia' pero en posiciones duales (codominio frente a dominio). También tensión con invariantes relacionados como la dimensión del cociente cokernel o el índice de Fredholm que combinan nulidad y corango.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El corango es el entero que da la codimensión de la imagen de un operador lineal: dim(codominio)−rango, una medida precisa de cuántas direcciones objetivo la transformación no alcanza.