## [Rango](/es/node/63393) Definición El rango es el número máximo de elementos linealmente independientes en un conjunto (sobre un campo o dominio especificado) o, equivalentemente en álgebra lineal, la dimensión de la imagen (espacio columna o fila) de una aplicación lineal o de una matriz, expresada como un entero. ## Principio Principio El rango cuantifica los grados de libertad o la dimensión del espacio generado por vectores dados o de la imagen de una transformación lineal; es invariante frente al cambio de base y central para la solvencia y clasificación de sistemas lineales. ## Demostración Demostración Una matriz 3×4 sobre R que tiene tres filas linealmente independientes tiene rango 3; por el teorema rango‑nulo, una aplicación lineal desde un espacio de dimensión 5 con rango 3 tiene nulidad 2, lo que gobierna el número de variables libres en las soluciones del sistema homogéneo. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir rango con determinante (un determinante no nulo indica rango completo solo para matrices cuadradas), o aplicar eliminación gaussiana sin respetar el campo base (por ejemplo reducir sobre Z en vez de sobre un campo), lo que puede dar conclusiones erróneas sobre el rango. ## Consecuencia Consecuencia El rango determina la solvencia de sistemas lineales, la dimensión de los espacios de soluciones, la invertibilidad de aplicaciones lineales (rango completo en matrices cuadradas) y aparece en descomposiciones estructurales como la descomposición en valores singulares y factorización de rango. ## Inversión Inversión La noción complementaria es la nulidad o corango: bajo rango señala alta nulidad y muchas dependencias lineales, mientras que rango máximo indica núcleo mínimo e independencia máxima. ## Límite Límite El rango es inequívoco sobre campos; sobre anillos o módulos generales hay que distinguir rango libre, rango proyectivo u otras nociones de rango de módulo: esas extensiones pueden no compartir todas las propiedades del rango sobre campos y dependen del contexto. ## Tensión semántica Tensión semántica El rango compite con medidas relacionadas (dimensión, tamaño, orden) y con proxies numéricos (normas de matrices); la tensión surge al traducir entre recuentos combinatorios y dimensión algebraica, especialmente sobre no campos. ## Síntesis Síntesis El rango mide direcciones independientes: la dimensión entera del subespacio generado por vectores o la imagen de una transformación lineal, controlando la solvencia, los grados de libertad y las descomposiciones en álgebra lineal y estructuras afines.