## [Diagonalización](/es/node/63360) Definición El proceso y la propiedad por los que un operador lineal o una matriz se representa, respecto de alguna base, por una matriz diagonal; es decir, el espacio vectorial admite una base de autovectores del operador. ## Principio Principio Un endomorfismo es diagonalizable precisamente cuando existe un conjunto completo de autovectores linealmente independientes; algebraicamente ocurre cuando el polinomio minimal se factoriza en factores lineales distintos sobre el cuerpo base (la multiplicidad algebraica coincide con la geométrica para cada valor propio). ## Demostración Demostración Una matriz simétrica real 3×3 con tres valores propios reales distintos se diagonaliza mediante un cambio de base ortogonal: A = Q Λ Q^T, con Λ diagonal y Q cuyas columnas son los autovectores ortonormales. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Afirmar que toda matriz es diagonalizable sobre su campo base; intentar diagonalizar una matriz no diagonalizable (por ejemplo un bloque de Jordan de tamaño >1) fallará porque carece de una base completa de autovectores. ## Consecuencia Consecuencia Cuando un operador es diagonalizable, calcular polinomios, potencias y funciones del operador se reduce a aplicar la función escalar a las entradas diagonales; los cálculos espectrales y el análisis de estabilidad se simplifican. ## Inversión Inversión La simplificación inversa se da por las formas canónicas de Jordan o racional: cuando no es posible diagonalizar, se expresa el operador mediante bloques de Jordan o bloques companion que conservan la estructura nilpotente. ## Límite Límite Requiere la existencia de suficientes autovectores; la diagonalización depende del campo base (un operador que se diagonaliza sobre una extensión puede no hacerlo sobre el campo original). Excluye operadores con parte nilpotente no trivial. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre diagonalizabilidad y normalidad: los operadores normales sobre C son diagonalizables por una base unitaria, pero la diagonalizabilidad por sí sola no implica normalidad; la diagonalización (similitud a una diagonal) difiere de la congruencia o de la SVD. ## Síntesis Síntesis La diagonalización aísla la acción de escalado de un operador al elegir una base de autovectores; es la simplificación lineal más potente, alcanzable exactamente cuando el espectro proporciona una base completa, y convierte problemas de operadores en problemas escalares.